一类广义正则半环上同余的特征

乔占科

(苏州科技大学数学系,江苏苏州 215009)

一类广义正则半环上同余的特征

乔占科

(苏州科技大学数学系,江苏苏州 215009)

在半环中引入了一类理想的概念,讨论了这类理想的性质,并研究了一类广义正则半环上的同余,给出了这类半环上一种半环同余的特征.

半环同余;半环理想;分配半环

1 引言及预备知识

文[1-2]分别给出正则半群和拟正则半群上的同余,文[3]研究了一类正则半环上的同余.在此基础上,本文通过研究半环理想,给出了一类广义正则半环上同余的特征.

设非空集S有两个代数运算,分别为加法“+”和乘法“·”,如果(S,+)和(S,·)均为半群且乘法对加法满足分配律,即对任意a,b,c∈S有a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca.则称S是半环.

设S是半环,如果对任意a,b,c∈S有ab+c=(a+c)(b+c),a+bc=(a+b)(a+c),则称半环S是分配的;如果(S,·)是群,则称S是可除半环.

设ρ是半环S上的等价关系,如果ρ同时是半群(S,+)和(S,·)上的同余,则称ρ是半环S上的同余.半环S上的同余ρ如果使(S/ρ,·)是群,则称ρ为可除半环同余.

设S是半环,如果半群(S,·)中每个元a都有正整数n使an正则,则称半环S是拟正则的.在拟正则半环S中,对S中每个元a,使得an正则的最小正整数称为a的正则指数.以RegS表示拟正则半环中乘法正则元集.a∈RegS,V(a)表示a的乘法逆元集.

本文所涉及到的其他术语和记号如未特别说明均见文[4-7].

2 主要结果

在本节中,半环S均指分配半环且(S,+)交换,(S,·)拟正则.对S中每个元a,凡出现an均指an正则且n是a的正则指数.(an)0∈V(a).

设H是半环S的子半环,如果(H,+)是(S,+)的理想,则称H是半环S的理想.设H是S的理想,如果⊆H,则称H是满的.

(11)HaH∩HbH/=∅.

这就证明了(5)到(11)均等价.因为(1)与(9)等价,因此上述十一条等价.

注如果U是S上的最小满的、自共轭的闭理想,则定理对U也成立.

定理2.2设H是半环S上的满的、自共轭的闭理想,定义(a,b)∈ρH,当且仅当符合定理1中的任意一条,则ρH是半环S上的可除半环同余.

证明利用文[3]和定理1即得.

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Some characterizations of the congruence on a generalized regular semiring

QIAO Zhan-ke
(Department of Mathematics,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009,China)

The concept of an ideal on a semiring is introduced,the properties of the ideal are discussed and the congruence on a generalized regular semiring is studied,some characterizations of a congruence on the semiring are given.

semiring congruence,semiring ideal,distributive semiring

O152.7

A

1008-5513(2009)03-0475-03

2008-02-29.

苏州科技大学重点学科基金资助.

乔占科(1960-),副教授,研究方向：半群理论.

2000MSC:20M17