鞅空间的原子分解与有限鞅的稠密性

于林,殷樱

(三峡大学理学院,湖北宜昌 443002)

鞅空间的原子分解与有限鞅的稠密性

于林,殷樱

(三峡大学理学院,湖北宜昌 443002)

引入了原子鞅与正则原子鞅概念,并研究了两类Banach空间值鞅Hardy空间的原子分解和有限鞅的稠密性,所得结论揭示了鞅Hardy空间正则原子鞅分解的存在性,有限鞅的稠密性和Banach空间的一致光滑性(或一致凸性)三者之间的内在联系.

鞅空间;原子分解;有限鞅;稠密

1 概念与引理

设(Ω,F,P)是完备的概率空间,(X,‖·‖)是Banach空间,设f={fn}n≥0是关于F的某个递增子σ-代数序列{Fn}n≥0适应的X值鞅,记df={dfn}n≥0是f的鞅差序列,其中dfn=fn−fn−1, n≥0,令f−1≡0,F−1={φ,Ω}.∀p:0＜p＜∞,定义鞅的极大函数和p阶均方函数如下

上述鞅空间的引入和有关背景的讨论,实值鞅情况可参见文[1-2],向量值鞅情况可参见文[3-9].

2 原子分解

定义4设X是Banach空间,1＜p＜∞,1≤r＜∞,X值鞅a={an}n≥0称为是A1(r,∞)(或A2(r,p,∞))原子鞅,若存在停时τ使得

3 有限鞅的稠密性

下面讨论鞅空间的原子分解,有限鞅的稠密性与Banach空间的一致光滑性(或一致凸性)之间的联系.有限鞅在向量值鞅空间中稠密性的某些讨论和应用可参见文[9].

定义8[9]称过程f={fn}n≥0为有限鞅,若fn=E(f|Fn),n≥0,且存在n0使得f是Fn0可测.

注由定义知有限鞅均具有形式:f={f1,f2,…,fn0,fn0,…}.

定理3设X是Banach空间,1＜p≤2,1≤r≤p,则下列条件等价:

(1)X同构于p一致光滑空间;

[1]Long Ruilin.Martingale Spaces and Inequalities[M].Beijing:Peking University Press,Vieweg Publishing, 1993.

[2]Weisz F.Martingale Hardy Spaces and Their Applications in Fourier Analysis Lecture Notes in Mathematics(1568)[M].Berlin Heidelberg:Springer-Verlag,1994.

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[4]于林.向量值鞅空间理论[M].北京：北京理工大学出版社,2005.

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Atomic decompositions and density of finite martingales in martingale spaces

YU Lin,YIN Ying
(Science College,China Three Gorges University,Hubei,Yichang443002,China)

The concepts of atomic martingales and regular atomic martingales are introduced,then the atomic decompositions and the density of finite martingales in two classes of Banach-space-valued martingale Hardy spaces are investigated.By the results obtained here,the internal relations among the existence of atomical decompositions,the density of finite martingales and the uniform smoothness(or uniform convexity)of Banach spaces are exposed.

martingale space,atomic decomposition,finite martingale,density

O211.4

A

1008-5513(2009)03-0417-08

2007-05-08.

国家自然科学基金(10371093),湖北省高等学校自然科学研究计划重点项目(D200613001).

于林(1965-),博士,教授,研究方向：鞅论及其在泛函分析与调和分析中的应用.

2000MSC:60G42,60G48,46E30