高等数学实用教学典故解析

张云霞 齐冠宏 邹良华

[摘要] 数学是打开科学大门的金钥匙,是科学的语言,是思维的体操,是理性的精神,是一门高超的艺术。但高等数学越来越成为现代大学生学习生涯上的障碍,为改变现状,我们要从课堂教学入手,通过教学典故与教学内容的高效结合,提高教学效果,激发学生的学习兴趣。

[关键词] 高等数学 解析 教学典故

“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日月之繁等各个方面,无处不有数学的重要贡献。”这是我国伟大的数学家华罗庚对数学进行的形象描绘。高等数学作为高等院校学生的一门重要基础课程,直接影响着学生许多专业课程的学习,是构成大学生智能结构的重要组成部分。但由于内容的抽象性和逻辑性,高等数学课堂气氛总是严肃而沉闷,思维难以活跃,知识学习难以深入,久而久之,学生产生厌烦情绪,要扭转这种局面,需要教师在教学方法、形式上下一番功夫。在教学过程中将知识与典故高效结合,不失为一种有效地方法。

一、关于微积分

微积分到底是谁发明的,这在世界科学史上曾经是一桩公案。欧洲大陆的学者归功于德国的莱布尼兹(1646~1716),英伦三岛的学术界授誉于牛顿。激烈的争执甚至伤害了民族感情。最后判决:微积分是莱布尼兹和牛顿共同发明的,争执才得到公正的解决。通过上述介绍,可以激发学生的求知欲与好奇心,在此基础上为了满足学生的好奇心,可以继续介绍莱布尼兹和牛顿的简单情况。莱布尼兹是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家,一个举世罕见的科学天才。他博览群书,涉猎百科,对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。由于学生对牛顿已非常熟悉,就可简单介绍下牛顿是英国著名的物理学家、数学家和天文学家,是十七世纪最伟大的科学巨匠。

二、关于极限

极限是分析数学最基本概念之一,特别是极限思想贯穿整个微积分的始终,在讲极限的时候可以举两个例子说明一下:(1)0.999999……=1?谁都知道1/3=0.333333……而两边同时乘以3就得到1=0.999999……可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数。(2)“无理数”算是什么数?我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯。结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想。另外,也可以讲述芝诺“阿基里斯和乌龟赛跑”的故事:乌龟和阿基里斯赛跑,乌龟提前跑了一段,不妨设为100米,而阿基里斯的速度比乌龟快得多,假设他的速度为乌龟的10倍,这样当阿基里斯跑了100米到乌龟的出发点时,乌龟向前跑了10米;当阿基里斯再追了这10米时,乌龟又向前跑了1米……如此继续下去,因为追赶者必须首先到达被追赶者的原来位置,所以被追赶者总是在追赶者的前面,由此得出阿基里斯永远追不上乌龟。这显然与生活中的实际情况不相符合。古希腊人之所以被这个问题困惑了两千多年,主要是他们将运动中的“无限过程”与“无限时间”混为一谈。因为一个无限过程固然需要无限个时间段,但这无限个时间段的总和却可以是一个“有限值”。这个问题说明了古希腊人已经发现了“无穷小量”与“很小的量”这两概念间的矛盾。这个矛盾只有在人们掌握了极限知识之后,才能真正地了解。通过讲述极限理论建立过程的故事,使学生对极限定义的产生过程有清楚的了解,同时也认识到极限理论对于微积分的重要性,从而加深了对极限概念的理解。

三、关于解析几何与笛卡尔

文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学,也接受了东方传入的代数学。科学技术的发展,使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点,表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处,而没有它们的缺点的方法”。1637年,笛卡尔的《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法,标志着解析几何学的诞生。此后,人类进入变量数学阶段。解析几何的出现,改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向,把相互对立着的“数”与“形”统一了起来,使几何曲线与代数方程相结合。为微积分的创立奠定了基础,开拓了变量数学的广阔领域。正如恩格斯所说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要了。”通过对解析几何诞生的介绍,使学生对数学学科之间的结构有了更加深刻的认识。

四、关于无穷级数和傅里叶

讲述无穷级数之前,先介绍蠕虫与橡皮绳的故事:一条蠕虫在长为1公里的橡皮绳的一端点上。蠕虫以每秒1厘米的速度沿橡皮绳匀速向另一端爬行,而橡皮绳以每秒1公里的速度均匀伸长,如此下去,蠕虫能否到达橡皮绳的另一端点?凭直觉,几乎所有的学生都认为蠕虫的爬行速度与橡皮绳拉长的速度差距太大,蠕虫绝不能爬到另一端。此时,教师给予适当的提示:由于橡皮绳是均匀伸长的,所以蠕虫随着拉伸也向前位移。1公里等于100,000厘米,所以在第一秒末,爬行了整个橡皮绳的1/100000,在第二秒内,蠕虫在2公里长的橡皮绳上爬行了它的1/200000,在第三秒内,它又爬行了3公里长的橡皮绳的1/300000……所以,在第n秒末,蠕虫的爬行长度为1100000(1+12+13+…+1n)。当n充分大时,这个数能否大于1?也就是括号里的和式能否大于100000呢?此时学生的学习热情已经调动起来,适机告诉学生,我们可以找到这个正整数N,使上述结果成立。也就是说蠕虫在第N秒时已经爬到了橡皮绳的另一端点。这个结论肯定令学生出乎意料,学习热情进一步高涨。继续引导为什么会这样引入正题:这是因为无穷数列是一个发散数列,它可以大于任意一个有限的数值。从而使学生迫不及待地想了解无穷级数究竟是怎么一回事?借此引出正题,定会收到显著的效果。

五、结束语

数学是一种情感,一种力量。正是有了这种情感和力量,笛卡儿为解析几何的创立思索了19年,哈密顿为四元数的诞生冥思苦想了15个春秋;陈景润为“1+1”探索了30年,数学家们为微积分理论的完善奋斗了200多年,为解决费马大定理拼搏了300多年。这种情感和力量也是学生学习数学的动力源泉。我们通过介绍数学典故,旨在使学生产生这种情感和力量。

大数学家克莱因认为:“数学是人类最高超的智力成绩,也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切。”在教学过程中教师要结合具体的教学内容,有目的地讲述一些有趣的数学典故,变枯燥的数学课堂为活泼生动的科学殿堂,让学生对数学产生浓厚的兴趣,刻苦钻研数学知识,为将来学习各类科学知识打下坚实的基础。

参考文献:

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[2]苏英俊,汪晓勤.略论数学史对数学教育的意义[J].数学通讯,2005,(5).

[3]张奠宙.数学美与课堂教学[J].数学教育学报,2001,(4).