判断函数单调性的常用方法

王彩霞

【摘要】函数的单调性是函数的重要性质，本文从单调性的定义入手，总结了判断单调性的常见方法，并且强调了易错点：考察函数的单调性，必须首先考虑其定义域。

【关键词】定义、定义域、方法

Judgment function monotonous commonly used method

Wang Caixia

【Abstract】The function monotony was the function important nature, this article obtains from the monotonous definition, to summarize the judgment monotonous common method, and emphasized Yi Cuodian: The inspection function's monotony, must paramount consideration its domain of definition.

【Key words】 Definition, domain of definition, method

函数的单调性是函数的重要性质之一，它揭示了函数定义域的某个子区间内函数值的变化趋势．在证明不等式，解不等式，比较大小，求最值等数学问题中有广泛的应用，会 判断函数的单调性很重要，下面例析几种常见判断方法．

一 、 定义法

函数单调性的定义是探索单调性的依据，用定义判断函数单调性的难点是区间端点的确定，基本步骤：设元—作差—变形—判号—结论，其中变形是关键，常见方法有因式分解法，配方法等．

例1：求 在 上的单调区间，并指出单调性．

解：设

则

当 时，∵∴即

.原函数在 上是减函数．

当 时，∵∴

，原函数在 上是增函数．

二、图像法

利用函数图像的变化趋势直观判断出单调区间，图像从左到右逐渐上升，则函数在其区间上为增函数，图像从左到右逐渐下降，则函数在其区间上为减函数，要求正确作图．

例2：求函数 的单调区间，并指出单调性．

解：在直角坐标系中做出 的图像，把 轴下方的部分，翻折到 轴上方，上方图像保持不变，所得图像即为所求．

由图像知：函数在 上是增函数。在 上是减函数．

三、利用函数性质

若 都为增（减）函数，则 在公共定义域内为增（减）函数．

若 为增（减）函数， 为减（增）函数，则 在公共定义域内为增（减）函数．

若 在区间D上是单调函数，当 时， 与 在区间D上具有相同的单调性．当 时， 与 在区间D上具有相反的单调性．

例3：求函数 在 上的最值．

解：令 在 上是增函数， 在 上是增函数，

故 在 上是增函数．

所以当 时， ．

四、复合法

复合函数 的单调性规律是：内函数 与外函数 的增减性相同（相反），则 是增（减）函数．上述规律可概括为“同增异减”．在确定复合函数的单调区间，除弄清内外函数及单调性外，还必须考虑函数的定义域．

例4：求函数 的单调区间．

解：由得 ．故函数的定义域为 ．

令

所以 在 上是增函数，在 上是减函数．

又 在 上是增函数．

所以原函数在 上是增函数，在 上是减函数．

五、利用已知函数的单调性

将所求函数的单调性转化为已知函数的单调性进行判断，要求熟练掌握常见函数如：一次函数，二次函数，正（反）比例函数，指（对）数函数等的单调性．

例5：指出 的单调区间，并指出单调性．

解：原函数即为

所以在 上是减函数，在 上是增函数．

六、导数法

设函数 在区间D内可导，若 ，则 在区间D上为增函数，若 ，则 在区间D上为减函数．

例6：求函数 的单调增区间．

解：令 ，得 或

所以函数的单调增区间是 ．

函数的单调区间是定义域的子集，在讨论函数的单调区间时，必须在定义域内进行，因此首先应确定函数的定义域，然后进行判断．

收稿日期：2009-01-09