抽象函数的两种解法

兰立力

(新疆农一师塔里木高级中学843300)

抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容尤为重要。

1.赋值法

抽象函数表现形式的抽象性，使得直接求解析式比较难。解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过恰当的运算和推理加以解决。下面举例加以说明。

例1若玣(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数玿，y均成立，且玣(x)不恒为0，请判断函数玣(x)的奇偶性。

解：令玿=y=0则有玣(0)=f(0)+f(0)，故有玣(0)=0

令珁=-x，则有玣(0)=f(x)=f(-x)，故有玣(-x)=-f(x)，又因为玣(x)不恒为0，所以函数玣(x)是奇函数。

所以函数玣(x)是减函数。

例2函数玣(x)(x∈R)，对任何实数玜、b恒有玣(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) ，且存在常数玞>0 ，使玣(c2）=0，求证：玣(x)为周期函数。

证明：令玜=x+c2，b=c2

则玣(a+b)+f(a-b)=f(x+c)+f(x)=2f(x+c2)•f( c2)＝0

即 玣(x+c)=-f(x)

又玣(x+2c)=f［(x+c)+c］=-f(x+c)=f(x)

所以函数玣(x) 是周期函数，最小正周期为2c。

例3设x≠0，函数玣(x)满足2f(x)+f(1x)=10瑇，求函数玣(x)的解析式。

解：由题意知2f(x)+f(1x)=10瑇

用x换1x代入上式得：2f (1x)+f(x)=101x

则①×2－②得：3f(x)=2 •10瑇-101x

所以玣(x)=23 •10瑇-13•101x

2.化归法

所谓“化归”，就是转化和归结。如玣(x)=kx(k≠0)有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)

可抽象为f(x+y)=f(x)+f(y)。那么珁=kx就叫做抽象函数玣(x)满足玣(x+y)=f(x)+f(y)的“原型”（函数）。

下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。

2.1中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）

1、………… y=kx(k 为常数)

2、f(x+y)=f(x)+f(y)…………y =ax(a ＞0且a ≠1)

3、f(xy)=f(x)+f(y)…………y =loga x( a＞0且 a≠1)

4、f(xy)=f(x)f(y)…………y =xn( n为常数)

5、f(x+y)=………… =y=tanx

3.“原型”解法例析

［例1］设函数玣(x)满足，玣(x)+f(y)=2f(x+y2).f (x-y2)且玣(π2)=0

x、y∈R；求证：玣(x)为周期函数，并指出它的一个周期。

分析与简证：由玣(x)+f(y)=2f(x+y2).f (x-y2)且玣(π2)=0

联想：玞osx1+cosx2=2cosx1+x22.cosx1-x22

原型：珁=cosx为周期函数且2π为它的一个周期 。

猜测：玣(x)为周期函数，2π为它的一个周期

令玿1=x+π且玿2=x则玣(x+π)+f(x)=2f(x+π2).f(π2)=0

∴ f(x+π)=-f(x)f(x+2π)=f(x)

∴f(x)为周期函数且2π是它的一个周期。

［例2］已知函数玣(x)满足玣(x+1)=1+f(x)1-f(x)若玣(0)=2008，试求f(2009)

分析与略解：由玣(x+1)=1+f(x)1-f(x)

想：玹an(x+ π4)=1+tanx1-tanx

原型：珁=tanx为周期函数且周期为4× π4=π

猜测：玣(x)为周期函数且周期为4 ×1＝4

∵玣(x+2)=f［(x+1)+1］=1+f(x+1)1-f(x+1)

=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x+1)1-f(x+1)=-1f(x)

∴f(x+4)=f［(x+2)+2］=1f(x+2)

=f(x)f(x+4)=f(x)

∴玣(x)是以4为周期的周期函数

又∵玣(0)=2008

∴玣(2009)=f(2008+1)=1+f(2008)1-f(2008)=1+f(0)1-f(0)

=1+20081-2008=-20092007

f(2009)-20092007

由抽象函数问题的结构特征，选择适当的解题方法可使抽象函数不再抽象。

收稿日期：2009-03-10