在初中数学教育中如何运用化归思想

杨可可

(广西桂平市江口镇二中537229)

【摘要】在初中数学教学中，数学思想对于培养学生的创造思维能力和数学素养具有十分重要的作用，其中化归思想的应用广泛。本文谈了化归思想的实质，化归思想在代数教学中的运用、在几何教学中的运用，和在代数、几何中的综合运用。在初中数学教学中，运用化归思想指导数学学习，的确有事半功倍之效。

【关键词】数学思想、化归思想、转化

In junior middle school mathematics education how using reduction thought

Yang Keke

【Abstract】In the junior middle school mathematics teaching, mathematics thought regarding raises student's creation power of thought and mathematics accomplishment has the very vital role, the reduction thought's application is widespread. This article discussed the reduction thought essence, the reduction thought in the algebra teaching utilization, in the geometry teaching utilization, with in algebra, geometry synthesis utilization. In junior middle school mathematics teaching, utilization reduction thought instruction mathematics study, really has the twice the result with half the effort effect.

【Key words】 Mathematics thought that reduction thought that transformation

在一段时期内，我们工作在第一线的初中数学教师，往往强调解决了数学的心脏——数学问题，得了结果而不去注重数学问题解决的方法及过程，所以，学生在老师的教学中得到了这个题目的答案，但在遇到同类型的题目时又总是毫无头绪，无从下笔去解决，这样就更要求我们数学老师们既要授学生与鱼，更要授学生与渔，让学生知其然，更知其所以然，数学老师应在数学教学中渗透数学思想方法。

数学思想方法是数学科学的精髓和灵魂。数学教育应建立在数学思想方法和数学手段现代化的基础上，其内容仍以经典的、基础的数学为主，只有这样，学生掌握了数学方法、就能从整体上、本质上把握数学，优化数学思维品质、实现教育目标，使学生获得终生受益的东西。就是说：“即使把数学知识忘记了，但数学的精神和方法还会铭刻在头脑中，并长久地在学习、工作、生活中发挥积极作用。数学思想包括：函数与方程的思想、结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想。而化归思想贯穿整个初中数学，它在中学数学教学中应用十分广泛，几乎遍及每一道数学题，它是一种最基本的思维策略，是分析问题、解决问题的有效途径。所以笔者就初中数学教学中如何应用化归思想，谈谈一二浅见。

一、 化归思想在代数中的应用。

在初中代数中将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫做化归与转化的思想，化归与转化的思想的实质是揭示联系、实现转化，在教学中要培养自己自觉的化归与转化意识，主动有意识地去发现事物之间的本质联系，所以有人认为“抓基础、重转化“是学好中学数学的金钥匙。

如在代数方程求解时大多采用“化归“思路，它是解决方程（组）问题的最基本思想，在解二元一次方程组、三元一次方程组时，不管是加减消元还是代入消元法都是利用化归把方程组转化为一元一次方程再求解。在利用换元法解方程时，也是通过化归把高次方程转化为低次方程，把分式方程转化为整式方程，把无理方程转化为有理方程，化难为易求解，分解因式无外是将原式转化为能运用公式或含公因式的形式之后再分解，一次（二次、反比例）函数与方程有密切的联系，代数式的运算是实数运算的拓宽。

例１：恒等变形法（化高次为低次）

已知： ，求 的值。

分析：题目的条件中所含的是字母x的一次式，而所求的结论中是x的二次式，因此我们可以通过降次，由结论向已知转化；或通过升次，由已知向结论转化。

解：

例２：参数变易法（化多元为一元）有时候为了达到由未知到已知，由难到易、由繁到简的化归，往往引进适当的参数，从而使问题的表现形式或解的结构处于可变的状态之中。例如：

若

分析：本问题可采用“参数变易法“增设一个未知数，令 ，表面上似乎增加了示知数的个数，实际上找到了新的等量关系，如 等，设参与消参的转化达到了化多元为一元的目的，使问题顺利求解。

解：设 ，则 ，代入原式，得

二、 化归思想在几何中的应用。

在初中几何的学习中也是如此，例如研究四边形、多边形的问题时通过分割图形，把四边形、多边形知识转化为三角形知识来研究，解斜三角形的问题通过作三角形一边上的高，转化为解直角三角形问题；我们熟悉的梯形问题常通过作腰的平行线或作两条高等常用辅助线，把梯形问题转化为平行四边形与三角形问题，圆中有关弦心距、半径、弦长的计算亦能通过连结半径作弦心距把问题转化为直角三角形的求解等等。

（一）、形体分割法：例：在推导多边形的内角和计算公式： 时，就是由特殊的四边形、五边形、六边形等的内角和，推导出n边形的内角和计算公式，如图：通过分割的方法把多边形转化为三角形，利用三角形的内角和计算出多边形的内角和。

依此类推得到：

（二）、叠加法（一般与特殊的转化）：所谓叠加法，波利亚在《数学的发现》一书中是这样说的：“从一个导引特款出发，利用特殊情形的叠加去得出一般问题的解”。叠加法的应用通常包括以下两个步骤：第一，为了求得一般情形的解，首先处理一个特殊情形。这一特殊情形应当满足以下的条件：它不仅易于求解，而且特别有用，即可以引导出一般情形的解。为此，称这种特殊情形为“引导特款”。第二，用某种指定的代数运算（这就是所谓的叠加）把一些特殊情形组合起来，从而获得一般情形的解。

叠加法即对未知成分进行分割，从而实现由一般到特殊的化归。

例如：证明圆周角的度数等于同弧所对圆心角度数的一半。

分析：①如果圆心位于圆周角的一边上（如图1），这是一个容易处理的特殊情况，此时，

∵ ∠ACB=∠OBC,

∴ ∠AOB=∠ACB＋∠OBC=2∠ACB

即圆周角等于同弧所对圆心角的一半

②对于圆心不位于圆周角的一边上的一般情况来说，只需进行适当的“分割”，即只需过圆周角的顶点画上一条直径，便可以化归成上述的特殊情况（如图2、图3）其中∠ACB=∠ACD＋∠DCB或∠ACB=∠DCB－∠ACD。

三、 化归思想在几何、代数中的综合运用。

在几何代数中实现化归的具体形式是数与形的转化，正如华罗庚教授所说:“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。将抽象的数量关系形象化，具有直观性强、易理解、易接受的作用，将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并可对知识的理解达到更深一个层次。

例如：在关于x的一元二次方程 中，a、b、c是Rt△ABC的三条边，∠C＝90°,①求证：此方程必有两个不相等的实数根；②如果这方程的两根为x1,x2,且 求a:b:c

解：① ∵∠C＝90°，∴ 。

原方程整理为

∵ △＝ ＞0

∴ 方程必有两个不相等的实数根；

②∵

∴ ，由此可知： ,

由

∴

此例把含有直角三角形的三边代数式作为一元二次方程的系数，把几何知识与代数知识联系到一起，多次利用勾股定理： 的变形及根与系数关系进行消元、换元，达到化繁为简的目的。

在初中数学教学中，应用化归思想方法解题应注意三点：①注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性；②注意转化的等价性，保证逻辑上的正确；③注意转化的多样性，设计合理的转化方案。

正如前苏联数学家雅诺夫思卡娅所说：“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题”。化归思想是人的一种主观要求，它可以化繁为简，以简驭繁，转暗为明、化生为熟。在初中数学教学中合理运用，就能达到事半功倍之效。但并不是说化归思想方法是万能的，它也有一定的局限性，所以，数学教师在教学时必须从多方面去培养学生的思维方法，使学生灵活多变的去解决自己面临的问题，充分发挥各种方法的优势，活学活用，取长补短。

参考资料：

1、《化归思想及其应用》庄桂忠

2、《中学数学方法论》丘瑞立邹泽民

3、《数学教育与素质教育》王长沛

收稿日期：2009-03-27