浅谈初中数学常见开放性问题及其解法

温 依

摘要本文主要从数学开放性问题的类型、特点、作用及初中数学常见开放性问题的解法等方面进行阐述。

关键词初中数学 开放性问题 解法

中图分类号:G633.6文献标识码:A

数学开放性问题是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制的数学问题。相对于传统型的数学问题来讲,开放性问题的本质是问题本身条件不完备、结论不确定、不唯一,需要解题者自己去探索。而这种类型的题目,在教学中,可很好地开发学生的思维,培养学生的创新精神,从而提高其数学素养。当前,随着新课改的深入实施,初中数学试题不仅对双基的考查表现出素材广、形式多的特点,而且还着眼于学生的应变能力的考查;且从近几年全国各地中考数学试题的设置看来,初中数学开放性试题的比重在逐年加大。因此,本文将重点谈谈初中数学开放性问题的解法,以供参考。

1 数学开放性问题的类型

目前,初中数学开放性问题可分为条件开放型、结论开放型、策略开放型、设计开放型、举例开放型、实践开放型、信息开放型、解法开放型、综合开放型、情景开放型等十种类型的试题。

2 数学开放性问题的特点

数学开放性问题有别于传统的数学题型,其有的条件不完整,有的结论多样,有的解法不固定,有的答案不唯一等,需要解题者能运用观察、对比、验证、分析、综合、抽象、概括、判断等数学方法,从而寻求到问题的答案。因此,数学开放性问题具有以下几个特征:

首先,数学开放性问题的条件不完备,有时不足,有时多余,不再如传统封闭性题型有现成模式套用;解题时,方法多种多样,多余的条件,使得解题的策略更具开放性。

其次,数学开放性问题答案的不确定性和多样性,在解题时,需要学生运用发散性思维,通过多角度观察,在自身能力范围内解决问题,从而探索出开放性题型的多个解决方法,体现出层次性。

最后,数学开放性题型的解决策略具有创新性,在解题时,不再有单一和死板的解题模式可遵循,甚至需要打破原有的解题模式,去探寻多种解题方法,由变求变,从而很好地体现现代数学气息。

3 数学开放性问题的作用

数学开放性问题的作用有:开放性问题能引起学生认知的不平衡性,为学生主动选择信息,有利于完善学生的认知结构;由于开放性问题具有结果开放、方法开放、思路开放等特点,能有效地反映高层次思维,为高层次思维创造条件,可摆脱“死读书”、“读死书”、“题海战”等带来的弊端,可巩固和深化学生所学的知识,有利于因材施教,更好地培养学生思维的灵活性,提高学生创造能力和创新能力,使其向更高层次发展;有利于培养学生对数学的积极态度,调动学生学习的积极性,促进学生探索能力的发展,帮助学生体验数学学科的灵感;有利于减轻学生的课业负担,全面实施素质教育;有利于教师转变教育观念,激发教育热情,摆脱浅层次的教学循环;有利于跨学科知识的综合运用,也体现了数学教学中的人文特性。

4 初中数学常见开放性问题的解法

4.1 条件开放型

条件开放题是指给出问题的结论,让解题者分析探索使结论成立应具备的条件,而满足结论的条件往往不是唯一的问题。这种类型的题目,是考查学生发散性思维的一种好的题型。在解题时,应执果索因、逆推分析,将题设和结论视为已知条件,倒推分析,然后寻找能使该结论成立的条件。

例1. 已知反比例函数y=(k-2)/x,其图象在第二、四象限内,则k值可为______。(写出满足条件的一个k值即可)

分析与解答:由反比例函数的图象在第二、四象限可知k-2<0,即k<2.因此所取k值只要满足<2即可,比如k取-2、-1、0、1…都是符合题意的。

例2. 已知点D、E分别在AC、AB上,且DE与BC不平行,请填上一个你认为合适的条件______,使得△ADE∽△ABC。

分析与解答:这道条件开放题,只要寻求其成立的一个充分条件即可:

如∠ADE=∠B或∠AED=∠C或AD:AB=AE:AC

分析:这两个例题都是探索条件的开放型试题,解决这类问题的方法是假设结论成立,然后进行逆向追索,逐步探索其成立的条件。

4.2 结论开放型

给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多样性,或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断,甚至要求解题者探求条件在变化中的结论,这些问题都是结论开放性问题。它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论,这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。解答时要充分利用条件,进行大胆合理的假设与猜想,由因导果,探求问题的答案。

例1. 若二次三项式x2-ax+12(a是整数)在整数范围内可以因式分解,那么a可取?或?或?3。

练习:若整式4 x2+Q+1是一个完全平方式,请你写一个满足调价难得单项式Q:_______。

例2. 已知函数图像经过p(1,2),并且在x>0时y随着x的增大而增大,写出满足条件的一个函数的解析式:_______.(只要满足条件的答案均可)

分析与解答:这是一道结论开放的试题,在解题时,只要掌握题中给的条件,结合所学函数的性质,就可求出符合条件的函数,有可能是正比例函数y=2x,或一次函数如y=3x-1等,或y=2x2等。

例3. 已知 ⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AD、AE分别是顶角∠BAC及邻补角的角的平分线,AD交⊙O于点D,交BC于F,由这些条件请直接写出一个正确的结论:______.(不再连结其他线段)

如:∠B= ∠C

BF=CF

AD⊥BC

AE∥BC

分析:这几个例题都是探索结论的开放型试题,解决这类问题的方法是解答时要充分利用条件,进行大胆合理的假设与猜想,由因导果,探求满足条件的结论,结论往往呈现多样性,需要经过论证做出取舍。

4.3 解题方法的开放型

解题方法开放题,一般是指解题方法不唯一或解题路径不明确的问题。要求根据对条件和结论的不同选择可以得到的多种符合题意的结果。这种类型的题目,需要解题者从多角度、多方位进行思考,根据已知条件结合图形,通过转化条件,发散思维,优化解题方案和过程,才能找到不同的解题方法。

例1. 试构造一个等腰梯形,要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形.

分析:说明:按照画出的梯形中,有4个,6个和8个等腰三角形三种情况

①有4个等腰三角形,②有6个等腰三角形,③有8个等腰三角形。

例2:为了美化校园,学校准备在一块圆形空地上建一花坛,现征集设计方案,要求设计的图案是由圆和三角形组成的对称图形,请画出你的设计。

分析:这个例子,是从学生熟悉的事物入手,主要考查学生的创新意识和实践能力,有利于学生自主发挥水平。

4.4 综合开放型

综合开放型,即条件、结论、思维过程至少两项均是开放的,这就需要解题者从数学的角度提出问题,理解问题,能综合运用各种知识去解决实际问题,且在解决问题时思维要开放,解题思路要开放。这类试题的开放度大,难度高,追求的是决绝实际问题的数学思想和方法的多样性。

例1. 在△ABC和△ADC中,下列三个论断:①AB=AD;②∠BAC=∠DAC;③BC=DC将其中的两个论断作为条件,另一个论断作为结论写出一个真命题是___________。

综上所述,开放性问题不仅是题型新颖、结构独特、综合应用程度较高,更是一种培养发散性思维、鼓励探索、鼓励创新的良好的思维训练方法。其要求解题者的解题思路开放、思维开阔,能敢于提出问题,勇于探索求异,善于应用数学思想及方法去解决一些实际问题,从而能培养解题者自身的创新精神和实践活动能力。当前,在新课标的背景下,初中数学开放试题应顺应新课改“自主探究、实践体验和合作交流的方式”的数学方针,在教学中应多编制一些思维含量高的开放性试题,通过条件的开放、结论的开放或方法的开放,培养学生的发散思维能力和创新精神,提高学生解决实际问题的能力。

参考文献

[1]洪善理.谈初中数学开放性问题[J].中国数学教育(初中版),2009(4).

[2]陈海燕.浅谈初中数学开放性探索题的解答[J].数学学习与研究:教研版,2008(1).