让学生展开想象的翅膀

吴建英　蔡海报

“三角形三边关系”是人教版课标教材四年级下册“三角形”中的第三课时。三角形三边关系定理不仅给出了三角形三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准。该课时是在学生对三角形的特征有了初步了解的基础上进一步研究三角形的特征。教材在编排时先安排了生活情境，学生根据生活经验觉得从家到学校的三条路中走中间这条路最近，由此提出问题：这是什么原因呢?接着教材呈现了三组纸条6、7、8；4、5、9，3、6、10。学生通过动手操作体会到：三根小棒有时能围成三角形，有时围不成三角形，从没有围成三角形的两种情况中猜想能围成三角形的三条边之间的关系，得出三角形任意两边的和大于第三边。在这个过程中，培养了学生的逻辑思维能力和动手操作能力，也培养了学生猜测一验证一总结的学习习惯。

围绕教材的编排意图，第一次课堂实践采取了围小棒的方式，通过“操作—观察—推测—验证”的模式进行教学。

第一次课堂片段聚焦

一、动手操作发现问题

师：是不是任意的三根小棒都能围成三角形呢?老师为同桌两位同学准备了红(6厘米)、黄(7厘米)、蓝(8厘米)、绿(14厘米)四根小棒，请你们任意选三根小棒，自由组合围一围，看是不是都能围成三角形，或者有的组合围不成。

1学生操作(同桌两位学生一组进行操作)

2交流反馈

在反馈中，学生一致认同红(6厘米)、黄(7厘米)、绿(14厘米)这三根小棒围不成三角形；认为红(6厘米)、蓝(8厘米)、绿(14厘米)围不成三角形的只有2组学生。教师用多媒体演示，在围的过程中红色和蓝色的线段合起来和绿色的线段一样长，这时仍有一组学生说我们能围的。

片段问题探讨、采用围小棒的方法让学生发现三角形的三边关系，这种方法有什么欠缺的地方?

课后我们在对这一片段进行讨论的过程中提出了以上问题，通过对课堂的分析我们有了自己的想法：

1在平面图形的教学过程中，无论是研究长方形、正方形，还是研究平行四边形……都是先有这些图形再进行研究的。而在研究三角形三边关系的时候却是在没有三角形的情况下围几个三角形进行研究。那么在教学过程中是否也能通过已有的三角形进行研究呢?

2用围小棒的方法让学生体验有时能围成三角形，有时围不成三角形，从没有围成三角形的两种情况中猜想能围成三角形的三条边之间的关系。我们认为这种方法具有局限性，因为无论有多少根小棒都是有限的，那么围的各种组合也就不具备普遍性。其次，因为小棒是教师提供的，学生在选择小棒的过程中也不需要进行思考，选这三根围得成，选那三根围不成，对于小棒的选择是无意识的。

3本堂课最难窍破的是学生思维的“临界点”。在教學过程中发现对于两根小棒之和小于第三根小棒的组合围不成三角形，学生通过操作都能感悟、理解。而对于两根小榛之和等于第三根的时候是围不成三角形的，而只能形成两条相等的线段，利围小棒的方法恰恰很难突破这个“临界点”。从学生的心理原因分析，今天老师让我们围小棒，学生就会千方百计地想去围咸。从客观原因分析，用小棒围三角形，因为小榛是立体的，在围的过程中很难达到相邻的端点相连，也就会出现课堂上大多数同学帮说能围成的现象。更难的是学生以自己的操作为第一表象，当教师用课件演示完以后，仍然有学生认为是围得威的。说明在这个过程中，学生空间想象完全是缺失的。

二、观察思考引发推测

师：仔细观察，推测一下为什么这三条线段围不成三角形?

生：其中两条线段的和比第三条短或一样长。

师：那怎么样的三条线段能围咸三角形呢?

生：两条线段的和比第三条长。

教师小结：这三条线段在三角形中我们叫它边。也就是说，三角形中两边之和大于第三边。

片段问题探讨：从研究怎样的三条线段能围成三角形到三角形三边关系的描述中间，还应为学生的思维铺垫什么?

在对这个片段的课堂分析中，老师们感觉在学生探讨“为什么这三条线段围不成三角形”的过程中，得出了其中两条线段的和比第三条短或一样长就围不成。进而教师设问：“那怎么样的三条线段能围成三角形呢?”学生也能描述两条线段的和比第三条长时能围成。这时教师马上小结：“这三条线段在三角形中我们叫它边。也就是说，三角形中两边之和大于第三边。”这样跳跃性很强。探究三角形三边关系的过程完全是教师个人把学生的思维硬拉过来的过程，中间缺少铺垫。

那么除了借助围小棒的方法到底有没有更合乎学生思维起点又能提升学生思维能力的方法呢?怎样循着学生的思维让学生对三角形三边关系的认识逐步深刻呢?学生在“实践操作，进行验证”这一环节中，认为把绿色的小棒剪短到12、11、10、9、8、7、6、5、4、3、2厘米都可以和6厘米的红色小棒、7厘米黄色小棒围成三角形。教师提出：“绿色的线段从11变到2，三角形会怎么变?”大多数学生都能通过想象感悟到三角形由矮、扁变成高、瘦。这一教学环节给了我们启发：本堂课能否以已有三角形一条边的变化为切入点进行动态研究，充分发挥学生的想象，在空间想象感悟、操作验证等数学活动中，经历探索三角形三边关系的过程。

第二次课堂片段聚焦

一、空间想象

师：同学们已经知道了由三条线段围成的图形叫三角形。那么有没有想过是不是任意的三条线段都能围成三角形，三角形的三条边应该有怎样的关系呢?

生：两条很短，一条很长就不行了。

生：任意的三条都行的。

教师小结：今天这节课我们就来继续研究三角形，研究三角形三条边之间的关系。

师：现在有红、蓝、绿三条线段，红线段长4厘米、蓝线段长5厘米、绿线段长6厘米，想不想看看这三条线段围成的三角形是怎样的?

(多媒体呈现三条线段围成的三角形)

1第一次想象

师：如果把6厘米的绿色线段换成一根长7厘米的线段。想想围成的三角形会有什么变化?

生：红色和蓝色的要斜下去了。

生：三角形要变扁了。

多媒体呈现4厘米(红)、5厘米(蓝)、7厘米(绿)三条线段围成的三角形。

2第二次想象

师：如果把绿色线段再换成8厘米，围成的三角形又会怎么变呢?

生：更扁了。

生：更矮了。

多媒体呈现4厘米(红)、5厘米(蓝)、8厘米(绿)三条线段围成的三角形。

3第三次想象

师：现在请你们继续想象，如果绿色的小棒变成9厘米会怎样呢?

生：更扁了。

生：马上要平了。

生：快要撑不起来了!

多媒体演示4厘米(红)、5厘米(蓝)、9厘米(绿]三条线段围三角形的情况。

生(开心)：真的平了!

师：和你想象的一样吗?发现了什么?

生：蓝色和红色的线段连起来和绿色线段一样长了。

生：重叠了，围不成了。

4第四次想象

师：绿色的线段再换一根长10厘米的呢?

生：绿色的要长出来了。

生：红色和蓝色中间要空出!厘米了。

师：你是指红色和蓝色的碰也碰不住了，是吗?

多媒体演示4厘米(红)、5厘米(蓝)、10厘米(绿)三条线段围三角形的情况。

片段分析：以三角形一条边的变化为切入点进行动态研究，充分发挥学生的想象，来感悟三角形的三边关系。

1通过空间想象，提升学生的思维能力

想象力的缺失，往往会让人变得呆板。在第二次课堂实践中我们通过三角形一条边不断变化的动态研究，让学生在头脑中不断地想象和建构。学生的想象经历了第三边不断延长，三角形不断变矮、变扁直至无法围成的变化过程。在这个过程中，学生感受了三角形由于边的变化而产生的形与结构的变化，这种想象相对于选择有限的小棒围三角形而言更具有普遍性。同时在想象的过程中学生的思维得以充分的展示，课堂也由此充溢着生命的灵动。“扁下去了”“马上要平了”“快要撑不住了”“快要瘦成一条线了”“要空出来了”……学生们用自己最真实、最朴素的语言描绘了自己的想象画面，同时也揭示了三角形的本质，即三条线段要围成三角形，相邻的端点相连，其中的两根必须撑得起来。可以说，学生通过自己的想象已完全领悟了三角形的三边关系。以致课堂最后在解决课本情境图时，有学生竟然还会通过想象认为“把上面两条边往下压肯定比第三条边长”。

2通过空间想象，轻松“跃过”学生思维的“临界点”

在学生想象三角形绿色线段由6厘米换至7厘米、8厘米“两次变扁”以后，教师再一次让学生想象4厘米的红色线段，5厘米的蓝色线段不变，绿色线段换长到9厘米，会怎样?学生想象到“更扁了”“快要平了”“快要撑不住了”……这时候媒体适时的介入让学生介于清晰和模糊之间的想象豁然开朗，于是课堂中就有了学生一片带着新奇又快乐的声音——“真的平了”，真可谓“难题一攻而破”。

二、引导探究

教师引导：仔细回忆刚才的学习过程，现在你感觉三角形的三条边应该有怎样的关系?

(学生探究交流)

生：两条边的和不能等于或小于第三边。

生：两条边的和大于第三边。

生：较短两条边的和大于第三条边。

片段分析：让学生自主经历由“围三角形”到“三边关系”的转化。

相对于第一次课堂实践，在第二次教学实践的过程中，课始就让学生思考“是不是任意的三条线段都能围成三角形，三角形的三条边应该有怎样的关系呢”。学生根据已有的知识经验和空间想象，认为两条很短、一条很长的时候就不行了，也有学生认为任意的三条线段都能围成。在这个过程中，教师给予了学生明确的学习任务，即今天要研究“三角形的三边关系”。在学生经历了第三边不断延长，三角形不断变矮、变扁直至无法围成的变化过程之后，教师再一次重复了课始的问题：“现在你感觉三角形的三条边应该有怎样的关系?”在思考的过程中学生自我经历了两个过程，先思考怎样的三条线段能围咸三角形，再此基础上转化为三角形的三边关系，避免了第一次课堂实践中教师把在研究怎样的三条线段能围成三角形的学生强拉到三角形三边关系中来的现象。

三、深刻认识

师：同学们，刚才我们让这个三角形中绿色的边不断延长，发现三角形越来越扁，最后红、蓝两条边撑不起来，围不成三角形了。你们由此对三角形的三边关系有了自己初步的想法。

多媒体再次呈现4厘米(红)、5厘米(蓝)、6厘米(绿)三条线段围成的三角形。

师(引导第五次想象)：接下来我们继续研究，现在让绿色的边变短，变短到5厘米，三角形会怎么变?

生：变高了。

生：变瘦了。

多媒体演示4厘米(红)、5厘米(蓝)、5厘米(绿)三条线段围成的三角形。

师(引导第六次想象)：当绿色的线段从5厘米变短到4厘米，那么三角形又会怎么变呢?

生(齐答)：更高，更瘦了。

多媒体演示4厘米(红)、5厘米(蓝)、4厘米(绿)三条线段围成的三角形。

师(引导第七次想象)：看着绿色的边，绿色的边再变短、变短……那么会出现什么情况呢?

生：围不成三角形了。

教师引导：绿色的线段短到几厘米的时候围不成三角形了呢?

生：1厘米。

教师引导：按照刚才同学们认为的三边关系：两边之和大于第三边，那么5+4＞1为什么又围不成了呢?

生：现在最长的那根是蓝色了。

生：红、绿两根的和等于蓝色的了。

多媒体演示4厘米(红)、5厘米

(蓝)、1厘米(绿)(竖成一条直线)

教师引导：现在是哪两根的和与哪一根比?

完善推测：现在你认为刚才两种三角形三边关系的描述哪一种更合理?

生(齐)：三角形中较短两边之和大于第三边。

生：我认为任意两边之和大于第三边。

片段分析：再一次的想象让学生对三角形三边关系的认识更全面完善。

当学生的空间想象经历了第三边不断地延长，三角形不断地变矮、变扁直至无法围成的过程时，更多学生对三边关系的认识局限于两边之和大于第三边，只有少部分学生关注到必须是较短两边大于第三边。为了让更多学生完善自己的认识，教学时通过绿色边的两次缩短，让学生想象三角形不断地变高、变瘦。再此基础上进一步让学生想象“绿色的边再变短、变短……那么会出现什么情况呢?”学生通过想象认为，缩短到1厘米的时候三角形又围不成了。因为蓝色的那条边变成了最长的边，红色、绿色两边的和等于蓝色的边了。学生自主地改变了比较的对象(在绿边延长时是红色、蓝色边的和与绿色边比)，深刻地领悟了“两边之和大于第三边”的两边必须是较短的两边，课堂中更有一位学生感悟到了“任意两边之和大于第三边”。

四、动手操作，验证推断

教师引语：同学们通过研究，感悟到三角形中应该较短两边的和大于第三边。那么是不是所有三角形中的三条边都有这样的关系呢?老师觉得我们有必要再摆一摆、围一围来证明一下。

一部分学生脱口说一定，小部分学生脱口说不一定。

师：老师为同桌两位同学准备了三根小棒，请你围一围，然后再量一量。

1学生用教师准备的小棒围三角形。

2学生测量验证。

教师小结：看来我们的推断是完全正确的，在三角形中较短两边一定大于第三边。

片段分析：通过想象后的操作，让结论从个别走向普遍。

在本堂课中借助一个三角形中一边不断变化的动态研究让学生充分想象，感悟三角形三边的关系。但有一部分学生的思维还局限在刚才变化过程中的几个三角形中。课堂中教师的提问可以证实这部分同学的想法。当提出问题，“在改变三角形一条边的过程中得到了我们的推断，三角形中较短两边的和大干第三边。那么这个推断在这些三角形中适用，在其他的三角形中呢?”有学生马上说不一定。因此教学中为学生准备了不同长短的小棒，让学生先围一围，在操作的基础上再进行测量，验证能围成的三角形是否都是较短两边之和大于第三边，围不成的是否较短两边等于或小于第三边。通过操作，和判断全部一致。这样的过程让学生的推测由个别走向普遍，认识由局部变得完整，同时也让学生在想象的基础上进行了亲手实践，使操作充满了学生的期待。

和第一次课堂实践相比，第二次课堂实践解决了第一次课堂教学后想到的课堂问题。在磨课过程中让我深刻地感受到课堂是由“问题”组成的，只有静下心来反思一个个能想到的教学问题并逐一去突破，才能让自己和学生在一次次的课堂中有所收获。也正是磨课的过程让我们突破了传统教法，通过想象，让学生学得轻松智慧，让教师教得轻松愉悦。因为是借班上课，学生不认识我，课后很多学生拥到讲台，对我说“老师这堂课真有趣”。我问：“为什么有趣?”学生说：“我们想到、看到了三角形慢慢撑不下去了。”从学生的话语中，从学生的课堂表现中我们可以看到学生良好的空间想象力，关键是我们有没有给学生想象的机会。正如，有一位听课教师在短信平台中写道：“学生空间想象力的培养，过了这村，就没有这店了。”而本堂课通过空间想象让学生探索三角形的三边关系正是把握了“村、店”的特点和优势。

(浙江省嘉兴市秀洲实验小学314000浙江省嘉兴市秀洲区教研室314000)