微积分的产生与发展

黄永梅 桑志英 王 翔

微积分是数学的一个基础学科,是微分学和积分学的总称,它的数学思想方法源远流长。其中“无限细分”是微分,“无限求和”是积分。微积分是与实际应用联系发展起来的,共经过了4个阶段。

1 雏形时期

公元前3世纪,古希腊阿基米德在他的数学著作中用“穷竭法”探讨圆的周长和体积公式,他数学研究的最大功绩是“平衡法”,体现了积分的基本思想。在他的《论螺线》一书中,给出确定螺线在给定点处的切线的方法。可以说,阿基米德开创了微积分的先河。比阿基米德晚几年的阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线。

公元3世纪,我国魏晋时期的刘徽用“割圆术”求出π的近似值,在求球体体积与牟合方盖体积之比时,用到“卡瓦列里”原理,只是没有将它们进行总结。刘徽的“割圆术”和他的体积理论的思想是定积分理论的雏形。刘徽的思想由祖冲之和他的儿子祖暅之推进和发展,他们将刘徽创立的特殊形式的不可分量方法用于球的体积问题上,取得突破性进展,使球体积问题得以解决。

2 酝酿时期

16世纪末17世纪初的欧洲,文艺复兴促进人们思维方式的改变。为解决天文、力学等方面的问题,必须提供必要的数学工具,这时产生的4类问题即求即时速度、求曲线的切线、求函数的最值和求积问题向数学提出新的挑战。由于4类问题的产生,使得微积分的问题被提上日程。17世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述4类问题作了大量的研究工作,如法国的费马、笛卡尔,英国的巴罗、瓦里士,德国的开普勒,意大利的伽利略、卡瓦列里等人都提出许多很有建树的理论,为微积分的创立做出贡献。

意大利数学家卡瓦列里发展了系统的不可分量方法,又利用不可分量建立不可分量原理,使早期积分学突破体积计算的现实原型而向一般算法过渡。

笛卡尔在《几何学》中提出求切线的“圆法”,在推动微积分的早期发展方面有很大的影响,牛顿就是以笛卡尔圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。费马在1637年提出求极值的代数方法,这种方法几乎相当于现今微分学中所用的方法。笛卡尔与费马所创立的解析几何方法的出现与发展,使数学的思想和方法的发展发生质的变化,为17世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件。

3 创立时期

17世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成微积分的创立工作,他们把切线问题和求积问题联系在一起。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿对微积分的研究始于1664年秋,1666年10月整理成《流数简论》,这是历史上第一篇系统的微积分文献,标志着微积分的诞生。他在《流数简论》中提出面积计算与求切线问题的互逆关系,建立“微积分基本定理”。在《流数简论》的其余部分,牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点,求积,求引力等16类问题,展示了他算法的极大普遍性与系统性。

莱布尼茨于1684年发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小和求切线的新方法》,这是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。他在这篇论文里定义了微分并广泛采用微分记号,陈述他在1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式。莱布尼兹还得出复合函数的链式微分法则,后来又将乘积微分的“莱布尼兹法则”推广到高阶情形。牛顿虽然也发现并运用了这些法则,但却没有去陈述一般公式,他更大的兴趣是微积分方法的直接应用,在文献《一种求极大与极小和求切线的新方法》中还包含了微分法求极大、极小值,求拐点以及光学等方面的广泛应用。

1686年,莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》,初步论述积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。在这篇论文中,积分号第一次出现在出版物上。莱布尼兹所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响。现在人们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,被誉为“人类精神的最高胜利”。

4 发展时期

18世纪,微积分进一步深入发展,在数学史上,把这一世纪称为“分析的时代”。在英国,泰勒和麦克劳林继承了牛顿的学说,把函数展开成幂级数,为微积分的发展提供了有力的武器。但麦克劳林之后,英国的数学处于停滞状态。莱布尼兹的学说,由他的学生雅各布·伯努利和约翰·伯努利在担当,他们二人的工作构成现今所谓初等微积分的大部分内容。18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的,他的著作《无限小分析引论》《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。

到19世纪初,法国科学家以柯西为首,对微积分的理论进行认真研究,建立极限的理论。后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为微积分的坚定基础。

微积分是与科学应用联系发展起来的,推动了近代数学的发展,也极大地推动了自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展,并在这些学科中有越来越广泛的应用。