方程助你求角度

刘　顿

学习了角的知识以后，我们就会经常遇到求解有关角的大小的问题，有些同学虽然已经掌握了角的有关概念，但还是难以下笔.事实上，对于一些比较复杂的角的计算问题，若能适当引入未知数，巧妙地运用方程，往往会使求解变得简捷.现举例说明.

例1 一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的大小.

分析：题设条件中既包含补角，又包含余角，这样就可以综合运用补角、余角的知识求解.

解：设这个角为x°，则这个角的补角为（180-x）°，它的余角为（90-x）°.

根据题意，得180-x=4（90-x）.

解得x=60.

所以这个角是60°.

说明：互余和互补是角的重要知识，学习时一定要注意理解与运用.

例2 如图1，BD平分∠ABC，BE将∠ABC分为两部分，∠ABE ∶ ∠CBE = 2 ∶ 5，∠DBE=21°，求∠ABC的大小.

分析：已知两个角的度数之比，可先设出这两个角，再由BD平分∠ABC，可列出方程求解.

解：设∠ABE=2x°，∠CBE=5x°，则∠ABC=7x°.

因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD.

根据题意，得2x+21=5x-21.

解得x=14.所以∠ABC=14° × 7=98°.

说明：利用方程研究几何图形问题与利用方程解决实际问题一样，也要从中找到等量关系.如本题中就是根据∠ABE+∠DBE=∠CBE-∠DBE来列方程的.

例3 以∠AOB的顶点O为端点作射线OC，使∠AOC ∶ ∠BOC=5 ∶ 4.

（1）若∠AOB=18°，求∠AOC与∠BOC的大小.

（2）若∠AOB=m°，求∠AOC与∠BOC的大小.

分析：题中显然没有明确交待射线OC是在∠AOB的内部还是外部，所以必须分情况讨论.

解：（1）分两种情况.

若射线OC在∠AOB的外部，可设∠AOC=5x°，∠BOC= 4x°，则∠AOB=x°，即x=18.

所以∠AOC=90°，∠BOC= 72°.

若射线OC在∠AOB的内部，可设∠AOC=5x°，∠BOC= 4x°，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x°，所以9x=18，即x=2.

所以∠AOC=10°，∠BOC=8°.

说明：利用方程求解几何问题时，若题中没有提供必要的图形，应考虑画出图形分情况讨论，这样才能避免错误.

下面有两道题目供同学们自己练习：

1. 已知一个角是它的余角的4倍，求这个角的大小.

2. 如图2，△OAB代表含有45°角的三角板，△OCD代表含有30°角的三角板，两块三角板的直角顶点重叠在一起.

（1）若∠DOB ∶ ∠AOD = 2 ∶ 11，求∠BOC的大小.

（2）若叠合而成的∠BOC=n°（0 < n < 90），则∠AOD的补角与∠BOC的度数之比是多少？

（答案在本期找）