识别菱形三策略

房延华

菱形是一种特殊的平行四边形,也是一种近乎“完美”的四边形,因为它具有很多特殊的性质.如何识别菱形呢?我们可以从以下几个方面考虑.

一､从菱形的定义考虑

例1(2007年·娄底)如图1,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.

(1)试说明:AE = DF.

(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.

分析: 由平行四边形的性质容易得出AE = DF.由DE∥AC,DF∥AB,可知四边形AEDF为平行四边形,再利用AD平分∠BAC可得出AF = DF,故由定义可判定四边形AEDF为菱形.

解:(1)∵DE∥AC,DF∥AB,

∴四边形AEDF为平行四边形.

∴AE = DF.

(2)若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形.理由如下.

由(1)知四边形AEDF是平行四边形.

∴∠BAD =∠ADF.

∵ AD平分∠BAC,∠BAD =∠DAF,

∴∠DAF =∠ADF.

∴AF = DF.

∴AEDF为菱形.

例2(2007年·青岛)将平行四边形纸片ABCD按如图2的方式折叠,使点C与点A重合,点D落到点D′ 处,折痕为EF.

(1)求证:△ABE ≌△AD′F.

(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形.证明你的结论.

分析: 由边角关系易证△ABE ≌△AD′F.猜想四边形AECF是菱形.由轴对称性质知AE = EC,从而只需再判定四边形AECF是平行四边形即可.

解:(1)由折叠的性质可知∠D = ∠D′,CD = AD′,∠BCD = ∠D′AE.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠B = ∠D,AB = CD,∠BCD = ∠BAD.

∴∠B = ∠D′.AB = AD′.∠D′AE = ∠BAD,即∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3.

∴∠1 = ∠3.

∴△ABE ≌△AD′F(ASA).

(2) 猜想四边形AECF是菱形,证明如下.

由折叠的性质可知AE = EC,∠4 = ∠5.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC.∠5 = ∠6.

∴∠4 = ∠6. AF = AE.

∵AE = EC,

∴AF = EC.

又AF∥EC,

∴四边形AECF是平行四边形.

∴四边形AECF是菱形.

点评:利用定义判定菱形时,一般先证明四边形是平行四边形,再利用条件找出一组邻边相等.如果已知一组邻边相等,则只需让四边形为平行四边形即可.总之,两个条件缺一不可.

二､从四条边的数量关系考虑

通过判定四边形的四条边相等,来说明四边形为菱形.

例3(2007年·巴中)在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A = 60°.点E､F分别在AB､AC上.把∠A沿着EF对折,使点A落在BC上的点D处,且使ED⊥BC,如图3.试说明四边形AEDF是菱形.

分析: 由折叠的性质和等边三角形可得出很多相等的边,所以可利用四边相等来证明四边形AEDF是菱形.由轴对称性质知AF = DF,AE = DE.从而只需再判定AE = AF即可.

解:由折叠的性质可知AF = DF,AE = DE,∠AEF = ∠DEF.

∵∠C = 90°,∠A = 60°,

∴∠B = 30°.

又 ED⊥BC,

∴∠BED = 60°.

∴∠AEF = ∠DEF = (180° - ∠BED) = 60°.

∴△AEF为等边三角形.AE = AF.

∴AF = DF = AE = DE.四边形AEDF为菱形.

点评:利用四边相等证明菱形,一般是利用轴对称或三角形全等等知识.另外值得注意的是两个全等的等边三角形可以“拼成”菱形.

三､从对角线的角度考虑

通过判定四边形的对角线互相垂直平分,来判定四边形为菱形.

例4(2006年·张家界)如图4,已知ABCD的对角线AC､BD相交于点O.BD绕点O顺时针方向旋转,交AB､DC于点E､F.

(1)试说明:四边形BFDE是平行四边形.

(2)BD绕点O顺时针方向旋转多大角度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由.

分析: 根据题目的特点,本题应把握与对角线有关的两个判定:(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OB = OD.AB∥CD.∠OBE = ∠ODF.

又∠BOE = ∠DOF,

∴△BOE ≌△DOF(AAS).OE = OF.又OB = OD,

∴四边形BFDE是平行四边形.

(2)BD绕点O顺时针方向旋转90°时,四边形BFDE是菱形.

理由:因为∠DOF = 90°,所以EF⊥BD.又因为四边形BFDE是平行四边形,所以四边形BFDE为菱形.

点评:通过对角线互相垂直平分判定菱形,其实质是先利用对角线互相平分判定平行四边形,再利用对角线垂直判定菱形.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。