怎样证明正方形

侯明辉

对于正方形的判定,教材中没有明确的判定定理.本文给出了判定正方形的三种方法,并举例予以说明,供同学们学习时参考.

方法一先证四边形是矩形,再证有一组邻边相等.

例1如图1,四边形ABCD是正方形,分别过点A､C作l1､l2,l1∥l2.作BM⊥l1于点M,DN⊥l1于点N.ND､MB的延长线分别交l2于点P､Q.求证:四边形PQMN是正方形.

证明:由PN⊥l1和QM⊥l1可知PN∥QM.因为PQ∥NM,∠QMN = 90°,所以四边形PQMN是矩形.又因为∠BAD = 90°,所以∠1 + ∠3 = 90°.又∠1 + ∠2 = 90°,所以∠2 = ∠3.而AB = DA,所以有Rt△ABM ≌ Rt△DAN(AAS), 得AM = DN.同理,AN = DP.故AM + AN = DN + DP,即MN = PN.所以四边形PQMN是正方形.

点评:解决此题的关键是先证明四边形是矩形,再证它的一组邻边相等.这是判定正方形常用的方法之一.此外,△ABM≌△DAN的证法也值得重视.

方法二先证四边形是菱形,再证它的一个内角是直角.

例2如图2,正方形CEFG的边CG在正方形ABCD的边CD上.点K是BC边上一点,点H在CD的延长线上,满足BK = CG = DH.连接AK､KF､FH､HA.求证:四边形AKFH是正方形.

证明: 由已知条件易得AB = KE = HG = AD,BK = EF = GF = DH,∠B = ∠E = ∠FGH = ∠HDA = 90°,所以由HL得△ABK ≌△KEF ≌△HGF ≌△ADH,得AK = KF = FH = HA.因此,四边形AKFH是菱形.因为∠2 = ∠3,∠1 + ∠3 = 90°,所以∠1 + ∠2 = ∠AHF = 90°.故四边形AKFH是正方形.

方法三先证四边形是平行四边形,再证它的一个内角是直角,并且有一组邻边相等.

例3如图3,在正方形ABCD中,点E､F､G､H分别在边AB､BC､CD､DA上,满足AE = BF = CG = DH.AF分别交DE､BG于点M､N,CH分别交BG､DE于点P､Q.求证:四边形MNPQ是正方形.

证明:因为DH = BF,且易知ADBC,所以AHFC,从而四边形AFCH是平行四边形,所以AF∥CH.同理,DE∥BG.所以四边形MNPQ是平行四边形.易证△ADE≌△DCH(SAS),所以∠ADE = ∠DCH,则

∠DCH + ∠EDC = ∠ADE + ∠EDC = 90°.故∠DQC = 90°.因此可知∠EQP = 90°.易证△AMD≌△DQC,△DHQ≌△CGP,故DM = CQ,DQ = CP,则DM - DQ = CQ - CP,即QM = PQ.故四边形MNPQ是正方形.

点评:解决此题的关键是先证明四边形是平行四边形,再证它的一个内角是直角(或一组邻角相等),从而得知这个四边形是矩形,最后证它的一组邻边相等,于是证得这个四边形是正方形.由此可见,方法三是方法一和方法二的组合.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。