感悟四边形中的数学思想

田家来

数学思想是数学的“灵魂”,是分析问题､解决问题的“金钥匙”.我们在学习数学时,除了要注意解题经验的积累外,还应关注数学思想的总结.现将与四边形有关的数学思想归纳如下.

一､方程思想

例1如图1,在矩形ABCD中,AB = 6,BC = 8.若将矩形折叠,使点C与点A重合,则折痕为EF.试求折痕EF的长.

解析: 如图2,连接AC,AC与EF交于点O.连接AF､CE.因为沿EF折叠后点C与点A重合,所以△AEF和△CEF关于EF对称,所以OA = OC,EF⊥AC.因为四边形ABCD是矩形,所以AE∥FC,所以∠1 = ∠2.又OA = OC,∠AOE = ∠COF,所以△AOE ≌ △COF.所以OE = OF.所以四边形AFCE是平行四边形.又因为EF⊥AC,所以AFCE是菱形,所以AF = FC.在Rt△ABC中,AB = 6,BC = 8,所以AC = 10.所以OA = OC = 5.设BF = x,则CF = 8 - x,故AF = 8 - x.在Rt△ABF中,有x2 + 62= (8 - x)2,所以x = .所以CF =.在Rt△FOC中,有OF === ,所以EF = .

点评:特殊四边形折叠问题中,求线段的长度,往往是根据折叠性质(相应的边､角相等),通过勾股定理建立方程解决.

二､分类讨论思想

例2在四边形ABCD中,AD∥BC,AB = CD,AC与BD相交于点O,∠BOC = 120°,AD = 7,BD = 10,求四边形ABCD的面积.

解析: 满足条件的四边形既可能是等腰梯形,也可能是平行四边形,所以应分类加以讨论.

(1)当四边形ABCD为等腰梯形时,如图3.过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,作DF⊥BC于点F.由∠BOC = 120°,知∠OBC = ∠OCB = ∠DEF = 30°,故DF = DE = AC = BD = 5.在Rt△BDF中,根据勾股定理,得BF = = 5,故梯形ABCD的面积 = (AD + BC)·DF = (CE + BC)·DF = BE·DF = ·2BF·DF = 25.

(2)当四边形ABCD为平行四边形时,如图4.过点B作BE⊥AC于点E,由∠BOC = 120°,得∠OBE = 30°,故OE = OB = .根据勾股定理,得BE = .在Rt△BEC中,由勾股定理,得CE = = ,OC = CE - OE = 3.故△BOC的面积 = OC·BE = .而ABCD的面积为△BOC的面积的4倍,故等于15.

综上所述,四边形ABCD的面积为25或15.

点评:对于题中没有给出具体图形的题目,要对可能存在的各种情况加以讨论,要注意不遗漏､不重复.

三､转化思想

例3如图5,在ABCD中,对角线AC和BD相交于点O .△OBC的周长为59,BD = 38,AC = 24,则AD =.若△OBC与△OAB的周长差为15,则AB= ,ABCD的周长为.

解析: 要求AD的长,根据已知条件可转化为求BC的长.要求AB的长,关键是将△OBC与△OAB的周长差转化为平行四边形两邻边BC与AB的差 .

在ABCD中,OA = OC = AC,OB = OD = BD,所以有△OBC的周长 = OB + OC + BC = BD + AC + BC = 19 + 12 + BC = 59.所以AD = BC = 28 .

△OBC的周长 - △OAB的周长 = (OB + OC + BC) - (OA + OB + AB) = BC - AB = 15,而BC = 28,所以AB = 13.

所以ABCD的周长 = 2(AB + BC) = 2 × (13 + 28) = 82.

点评:在解题中,对于比较复杂或陌生的问题,常常通过转化将其变为比较简单或熟悉的问题来解决.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。