构造平行四边形解题

庄亿农

对于有些几何问题,若能根据题目中的条件和图形特征,添加适当的辅助线,构造出平行四边形,然后利用平行四边形的性质,往往能使问题得到巧妙解决.

一､构造平行四边形,求角的大小

例1如图1,六边形ABCDEF中,CD∥AF,∠D=∠A,AB⊥BC,∠C = 124°,∠E = 80°,求∠AFE的大小.

分析: 由条件CD∥AF和∠D = ∠A,联想到构造平行四边形.

解:延长AF､DE交于点Q,延长DC､AB交于点P,如图2 .因为CD∥AF,所以∠D + ∠Q = 180°.又∠D = ∠A,所以∠A + ∠Q = 180°.所以AP∥QD,所以四边形AQDP是平行四边形,所以∠Q = ∠P.又因为∠P = ∠BCD - ∠CBP= 124° - 90° = 34°,所以∠Q = 34°.又∠DEF = 80°,所以∠QEF = 180° - 80° = 100°.所以∠AFE = ∠QEF + ∠Q = 100° + 34° = 134°.

二､构造平行四边形,证明两角相等

例2如图3,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB = DC,试证明∠B = ∠C.

分析: 要说明∠B = ∠C,可过点A作DC的平行线,构造平行四边形来解决问题.

解:作AE∥DC,交BC于点E,如图4.因为AD∥BC,所以四边形AECD是平行四边形.所以AE = DC.因为AB = DC,所以AB = AE,所以∠B = ∠AEB.因为AE∥DC,所以∠AEB = ∠C.所以∠B = ∠C.

三､构造平行四边形,证明线段相等

例3如图5,在RT△ABC中,∠C = 90°,M是AB的中点.AM = AN,MN∥AC.试证明MN = AC.

分析: 由MN∥AC,要证明MN = AC,可联想到四边形ACMN是平行四边形.因此连接CM,判断四边形ACMN是平行四边形即可.

解:连接CM,如图6.因为在RT△ABC中,∠ACB = 90°,M是AB的中点,所以CM = AM,所以∠MAC = ∠MCA.又因为AM = AN,所以∠AMN = ∠N.因为MN∥AC,所以∠MAC = ∠AMN.两个等腰三角形中,底角相等,则顶角也相等.故∠NAM = ∠CMA,所以AN∥MC.所以四边形ACMN是平行四边形,则MN = AC.

点评:对等腰△AMN和等腰△MAC,各角对应相等,还有公共边AM,故它们全等.由此也可证得结论.

四､构造平行四边形,证明线段垂直

例4 在ABCD中,∠A = 60°,E､F分别是AB､CD的中点,且AB = 2AD.试证明BD⊥EF.

分析: 可通过连接DE､BF,构造菱形DEBF,再结合菱形的性质来解决.

解:如图7,连接DE､BF.因为AD = AB = AE,∠A = 60°,所以△ADE是等边三角形,所以AD = DE = EB.又DFBE,所以四边形DEBF是菱形,所以BD⊥EF.

点评:也可自B点作BM⊥AD于M,则易知AM = AB,故BM与BD重合,所以AD⊥BD,从而推出结论.

通过上面几道例题可以看到,有些复杂的几何问题,若直接求解比较困难,可尝试添加合适的辅助线,构造平行四边形,这样常常可以找到简便方法,使问题获解.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。