平移、旋转中的五种关系

王丽敏

平移与旋转现象是现实生活中的广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简单的形式之一，平移与旋转变换都是图形变换.

平移与旋转是在“轴对称”的基础上，进一步研究图形的另两种基本变换，是义务教育阶段“空间与图形” 部分的主要内容，也是下一章学习平行四边形的工具，更为将来研究图形的全等及其性质奠定了良好的基础.

学习平移和旋转的关键是要善于处理五种关系.

一、平移中的五种关系

1. 静与动的关系

图形的平行移动，简称为平移.平移可以看做某一物体或基本的平面图形沿着一定的方向平行移动的过程.如图1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，由此我们不难看出：虽然△ABC和△A′B′C′都是静止的，但△ABC在移动的过程中，一直是沿着PQ的方向平行运动的.运动是平移的前提，运动后的静止图形△A′B′C′是平移后的结果.运动是为结果的静止服务的.

2. 位置关系

平移也可以看做物体（图形）运动后的最终位置与原先位置的关系.

（1）图形之间的位置关系：平移中图形的位置变化是由平移的方向和距离决定的，平移的方向和距离是平移的两个要素.

如图1，△ABC沿着PQ的方向平移了3 cm得到△A′B′C′，PQ的方向和平移的距离3 cm确定了△A′B′C′的位置.

（2）线段之间的位置关系：平移后的图形与原图形的对应线段具有平行的位置关系.如图1，A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC.除此之外，对应点的连线都互相平行，AA′∥BB′∥CC′，对应线段之间的距离为平移的距离，在图1中对应线段之间的距离为3 cm.

3. 对应关系

（1）对应点：△ABC与△A′B′C′中，点A与点A′是对应点，点B与点B′对应，点C与点C′对应. △ABC与△A′B′C′有无数个对应点，如线段AB的中点与线段A′B′ 的中点也是对应点.

（2）对应线段：线段AB与线段A′B′是对应线段，线段BC与线段B′C′是对应线段，线段AC与线段A′C′是对应线段.

（3）对应角：∠ABC与∠A′B′C′是对应角，∠BCA与∠B′C′A′是对应角，∠BAC与∠B′A′C′是对应角.

一般情况下对应点、对应线段、对应角都是成对出现的.

4. 相等关系

平移前后的两个图形的对应角相等，对应线段相等，大小相等（即面积相等）. 如AB=A′B′，∠AB C=∠A′B′C′.

5. 形状关系

平移后的图形形状与原图形的形状相比没有发生变化，即形状完全相同.

因此，平移具有如下特征：

（1）平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化.

（2）图形平移后对应点所连的线段平行且相等.

需要注意的是：在平移的过程中，对应线段可能在一条直线上；对应点所连的线段也可能在同一条直线上.

对以上特征我们可以简单地概括为：“一变，两不变，三对应，两相等，两平行”.即平移前后，一变：图形的位置发生了改变；两不变：形状和大小没有发生改变；三对应：对应点、对应角、对应线段；两相等：对应角相等、对应线段相等； 两平行：对应线段平行、对应点所连的线段平行.

例1下列运动形式不是平移的是（）.

（1）电梯内人的升降，（2）火车在平直的轨道上运动，（3）钟表上指针的运动，（4）奥运五环旗图案（不考虑颜色）的形成过程，（5）电风扇的转动.

A. （1）（4） B. （2）（3）

C. （3）（5） D. （2）（4）

解析： （1）中电梯内人的升降可看做是人在上下平行移动，（2） 可看做火车在平直的轨道上平行移动，（3）中指针是绕着钟表轴心旋转运动，（4）中图案可以看做是其中一个圆环沿着某一方向平行移动而形成的，（5）中电风扇的转动可以看做是扇叶绕着其轴心旋转运动.所以答案应为C.

温馨提示： 判断一个物体的运动是不是平移，就要看该物体是否沿着一定的方向平行移动.

例2作图题.（不要求写作法）

如图2，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上），在给出的方格纸中，画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A1B1C1D1.

解析：首先将四边形的4个顶点向下平移5格，即画出4个对应点.然后对应连接4个对应点，画出原四边形的4条对应线段，即可得到平移后的四边形.如图3.

温馨提示： 平移作图的关键就是要确定平移的方向和平移的距离，然后找出关键点，按要求平移关键点，最后连接关键点，画出平移的图形.

二、旋转中的五种关系

1. 静与动的关系

在平面内，将一个图形绕着一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.由此我们可知：旋转中心在旋转的过程中保持不动，而图形是绕着旋转中心运动的.我们不妨称之为“一静一动”.如图4，△ABC绕着点A沿着逆时针方向旋转到△ADE的位置，旋转中心点A静止不动，只是△ABC发生了运动.

2. 位置关系

旋转既可以表示物体（图形）运动的过程，也可以表示物体（图形）运动后最终的位置与原先位置的关系，其位置由旋转中心、旋转方向和旋转角决定.如图4，△ADE和△ABC的位置关系是由旋转中心A、逆时针方向旋转和旋转角∠CAE=82°决定的.

3. 对应关系

从图4可以看到点B旋转到点D，AB旋转到AD，∠BAC旋转到∠DAE.即点B的对应点是点D，线段AB的对应线段是线段AD，∠BAC的对应角是∠DAE.由此，我们可以看出△ABC和△ADE的对应点有无数个，每个对应点都旋转了82°；对应线段有3条；对应角有3个.我们不妨将对应点、对应角、对应线段称之为“三对应”.

4. 相等关系

图形中每一点绕着旋转中心旋转的角度都相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的大小相等.我们将这五种相等关系称之为“五相等”.

5. 形状关系

旋转后的图形形状与原图形的形状相比没有发生变化.

为了使同学们更好地掌握旋转的有关知识，我们将一个旋转中心、三个对应关系和五个相等关系概括为“一中心，三对应，五相等”；将位置发生了变化和形状没有发生变化概括为“一变一不变”.

例3（2008年·广州）将图5按顺时针方向旋转90°后得到的是（）.

解析： A是顺时针方向旋转90°后得到的；B是顺时针方向或逆时针方向旋转180°后得到的；C未进行旋转；D是逆时针方向旋转90°后得到的.故应选A.

温馨提示： 要认真审题，仔细观察，莫将A、D混淆.旋转除确定旋转中心和旋转角度外，更要确定旋转的方向.

例4如图6，△ABC是等腰直角三角形，等边△ADC经过旋转后到达△CEB的位置.请回答：

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转角度是多大？

（3）如果点F是AD的中点，那么经过上述旋转后点F转到了什么位置？

解析： 旋转中心和旋转角是图形旋转的两个主要决定因素.

（1）△ADC经过旋转后到达△CEB的位置，C点保持静止不动，所以旋转中心是C点.

（2）D点旋转到了B点的位置，D点的对应点是B点，线段CD的对应线段是线段CB，因为∠ACB=90°，∠ACD=60°，则旋转角∠DCB=150°，所以图形旋转了150°.

（3）线段AD的对应线段是线段EB，点F是AD的中点，所以经过上述旋转后点F转到了线段BE的中点G的位置.

温馨提示： （1）旋转后的图形与原图形有无数个对应点，如对应线段的中点对应，对应角平分线与对边的交点对应等；（2）图形上每个点旋转的角度都是相同的.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。