飞轮振动频谱特征的初步理论分析和验证

王全武，虎 刚

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；

2.中国空间技术研究院，北京 100094）

飞轮振动频谱特征的初步理论分析和验证

王全武1，虎 刚2

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；

2.中国空间技术研究院，北京 100094）

飞轮振动是影响卫星姿态控制精度的重要因素。通过理论分析的方法初步分析了飞轮振动频谱的基本组成特征，其中包括滚动轴承的振动特性。理论分析表明，飞轮径向振动频谱中主要包括飞轮旋转频率成分及其高次倍频成分。最后利用振动测量实验数据验证理论分析结果的合理性和准确性。

飞轮；振动；频率成分

1 引 言

与其他执行机构相比，飞轮具有可靠性高、无污染、工作寿命长并且控制精度高等优点。因此，近年来发射的长寿命、高精度、高稳定度的卫星广泛采用飞轮作为姿态控制的主要执行机构。飞轮运行状态下出现的高频振动容易引起星体抖动，严重影响卫星的指向精度。由于现有的控制方法还无法有效地解决这一问题，因此飞轮的高频振动问题成为制约中国高精度、高稳定度遥感卫星发展的主要因素之一。

目前，国内外公开发表的研究飞轮高频振动问题的文献主要集中在两方面，即考虑反作用轮过零时低速摩擦特性的姿态控制方法研究［1-2］和飞轮振动模型的建模技术研究［3-5］，尚未见有关讨论飞轮振动频谱特征的文献。

本文通过定义广义干扰来综合表征转子不平衡对飞轮的影响，基于线性和弱非线性振动分析理论对飞轮振动频谱中存在的频率成分进行了分析，并结合某型号飞轮所采用的滚动轴承振动特性进行了分析，最后通过试验测量飞轮振动试验频谱数据，验证了理论分析得出的结论。

2 理论分析

飞轮一般分为本体和驱动电路两部分。飞轮本体主要包括转子、滚动轴承、壳体和电机四部分，如图1所示。

图1 飞轮本体组成示意图

转子是飞轮的核心，提供飞轮的转动惯量。但是，转子不平衡也是引起飞轮振动的主要因素。本文主要针对转子不平衡引起的飞轮受迫振动进行理论分析。为了便于分析，将飞轮本体视为整体，从而简化得到一个多自由度振动系统，将转子不平衡引起的不平衡力/力矩视为系统受到的激励，进而将飞轮振动问题简化为受迫振动问题进行研究。滚动轴承是飞轮本体中唯一的活动部件，本文将结合有关研究结论分析其振动特性。

2.1 广义干扰定义

转子不平衡是指实际转子受到结构形状、材料以及装配工艺等多种因素的影响，惯性轴与旋转轴线不相重合，产生了离心惯性力或惯性力偶。转子不平衡的最简单形式分为静不平衡和偶不平衡两种情况［6］。静不平衡转子的离心惯性力系向质心简化为一合力F，合力F的方向围绕旋转轴变化，其频率与飞轮旋转频率相同。偶不平衡转子的离心惯性力系向质心简化为力偶M，力偶M的作用方向围绕旋转轴周期性改变，频率与飞轮旋转频率相同，相位比不平衡力F落后θ。如图2所示，Ω表示飞轮旋转角频率，Fx（t）和 Fy（t）表示静不平衡力F（t）在 x轴和 y轴上的分量，Mx（t）和 My（t）表示偶不平衡力矩M（t）在x轴和y轴上的分量。

图2 广义干扰定义示意图

根据静不平衡和偶不平衡的定义可知，不平衡量的存在使得一种表现形式为力和力矩的广义干扰G（t）作用于飞轮。广义干扰G（t）可以通过其在x轴和 y轴上的分量 Gx（t）和 Gy（t）表示，Cxx和 Cyy分别表示广义干扰在x轴和y轴上分量的幅值。利用广义干扰的分量 Gx（t）和 Gy（t）可以统一描述静不平衡力 F（t）和偶不平衡力矩 M（t）在 x轴和 y轴上对飞轮的作用。

2.2 基于线性振动理论的飞轮受迫振动分析

由于飞轮具有显著的轴对称特点，其径向振动具有明显的对称性，因此本文将主要选取飞轮某一径向的振动问题进行分析。

为了便于进行分析，本文假设飞轮本体为一个线性振动系统，并且简化为一个质量为 m、刚度为k、阻尼为c的单自由度有阻尼的受迫振动系统，在广义干扰分量Gx（t）的激励作用下，飞轮的受迫振动微分方程为

方程（1）的通解由相应齐次线性方程的通解加上非齐次线性方程的任一特解组成，经过求解并合并同频率项，在广义干扰的作用下，飞轮结构的径向振动响应表现为两种不同频率的周期性振动的组合，其中一种是频率等于有阻尼自由振动频率ωd的系统有阻尼自由振动部分 x1（t），另一种则是频率等于广义干扰频率（即飞轮旋转频率）的纯强迫振动部分 x2（t）。

由于阻尼的存在，频率等于ωd的系统有阻尼自由振动x1（t）最终将会衰减。随着时间的推移飞轮在广义干扰的激励作用下，在x方向的振动响应只剩下稳态强迫振动，即

式中，

最终得出的线性振动方程的解（2）表明：飞轮在广义干扰作用下的振动响应最终表现为频率等于飞轮旋转频率的简谐振动，即在飞轮为线性振动系统的假设条件下，仅考虑转子不平衡的激励作用时飞轮径向振动频谱中仅存在频率等于飞轮旋转频率的单一成分。

2.3 基于正规摄动法的飞轮弱非线性受迫振动分析

实际飞轮并非是完全线性振动系统，将飞轮振动线性化所得出的结果与实际情况存在着一定的误差，因此，为了使分析结论更接近真实的振动状况有必要针对飞轮的非线性振动特性展开分析。考虑到飞轮内部组成结构复杂，可能存在多个激励源，因此本节将主要就非线性振动系统受单个频率的激励和受多个不同频率的激励这两种情况进行分析。

本文采用正规摄动法对弱非线性飞轮振动系统进行近似求解，正规摄动法的具体解算步骤见参考文献［7］。

（1）单一频率激励下的受迫振动分析

为了便于分析、简化对象，广义干扰激励下的飞轮非线性模型在式（1）所示线性化振动微分方程的基础上增加弱非线性项εf（x，），ε为弱非线性系统的小参数，非线性函数f（xx）是x和的多项式。考虑带小参数的飞轮单自由度非线性系统的振动微分方程为上式中阻尼项并入到了非线性项εf（x，）中。

为了初步分析飞轮的非线性振动特性，决定将本文中广义干扰激励下的飞轮非线性受迫振动采用带有形如 εx3的3次非线性恢复力的达芬方程［8］来描述（即εf（x，x·）=-εx3）。根据正规摄动法，方程（3）的近似解析解为

式中，A、B1、B2、C1、C2、C3分别表示原系统各次近似方程特解中组成项的幅值，省略号包含更高阶的近似解。

根据最终得出的飞轮受单一频率激励下的径向受迫振动响应近似解析解，即式（4）可知，与线性系统的受迫振动相比，在广义干扰激励作用下飞轮的径向非线性振动响应，即振动中不仅包含频率为Ω的飞轮旋转频率成分，而且还包含3Ω、5Ω…等旋转频率的奇次倍频响应成分。

（2）多个频率激励下的受迫振动分析

考虑到飞轮属于多结构组成的系统，内部可能存在有多个激励源，本节主要针对受两个不同频率简谐激励的情况进行非线性振动响应分析。设系统受到两个激励频率分别为 Ω1和 Ω2的简谐激励作用，幅值分别为Cxx1和 Cxx2，激励频率都远离派生系统的固有频率 ω0，根据式（3），此时系统的非线性微分方程为利用正规摄动法，上述系统的一次近似方程为

其中A1、A2分别是上述系统的零次近似方程解中频率为Ω1和Ω2组成项的振幅。

根据原系统的一次近似方程（6），该线性受迫振动方程右端激励项中除了包含激励频率为Ω1、Ω2和各自奇次倍频项以外，还存在2Ω1+Ω2，2Ω2+Ω1，|2Ω1-Ω2|和|2Ω2-Ω1|等组合频率项。根据线性振动求解理论，一次近似方程（6）所示系统的振动响应中存在着上述各项频率成分。因此可以得出与飞轮线性化所得出的分析结果不同的结论，即飞轮振动中不仅存在飞轮旋转频率成分，还包含各激励成分的倍频以及组合频率。飞轮属于典型的旋转机构，其内部激励源的激励频率与旋转频率保持一定的关系，因此飞轮径向振动中所包含的不同激励的倍频成分及组合频率成分相应地表现为旋转频率的分数谐波或高次谐波。

由于本节是利用达芬方程近似描述飞轮非线性振动系统，因此理论分析的结果与实际的振动频率成分会出现一定程度的误差。采用3次非线性恢复力形式的达芬方程使得飞轮径向振动频率成分的分析结论中倍频项仅为奇次倍频成分，而实际的飞轮径向振动频谱中可能不仅仅如此。

2.4 滚动轴承振动分析

滚动轴承主要由滚动体、保持架、内圈和外圈四部分组成，是飞轮中唯一的活动部件，也是潜在的主要振动源之一。本文主要针对某型号飞轮中采用的滚动轴承B7004进行运动特性分析，研究飞轮振动频谱中可能存在的频率成分。

滚动轴承 B7004的节圆直径 Dm为31 mm，滚动体直径d为6 mm，接触角α为15°。滚动轴承内圈与主轴固定，转速ni为0，外圈与飞轮转子固接，转速ne等于飞轮转速n。

根据滚动轴承的运动学分析结论［9］，保持架相对于内圈的旋转速度nci为

通常把滚动体通过外圈滚道上某一存在裂纹或剥落等缺陷的位置时产生的振动特征频率，称为外圈通过频率。与之相对应的外圈上某一点每分钟滚动体的通过速度为

式中z=12，z为滚动轴承B7004的滚动体个数。

经过前面的理论分析后得出的结果表明：滚动轴承中保持架可能引起的振动频率大约为旋转频率的0.6倍，滚动体通过外圈缺陷位置可能引起的振动频率大约为旋转频率的4.8倍。

很多小微企业缺乏对优惠政策的了解，这是由于税务部门宣传力度不够，没有主动帮助企业应用优惠政策。在税收优惠政策出台之后，税务承办人员未进行及时的学习，也就造成了企业未能完全落实政策。另外在企业和税务部门之间存在信息不对称的问题，税务部门不了解企业的情况，企业也不了解政策和程序的情况，这样的信息不对称极容易出现数据的误差。例如：金税三期工程已经合并了税务征收系统，但是由于税种的差异未得到及时的交流，可能会出现登记税务的错误。如小微企业在国税部门和地税部门登记的注册信息有不同，若未经过核对，也就出现了数据错误。

综上所述，通过对飞轮径向振动频率成分的初步理论分析可得出如下结论（见表1）：飞轮线性化振动理论分析表明飞轮径向振动频率等于飞轮旋转频率；理论分析结果还表明在考虑飞轮振动的非线性特性的情况下，飞轮径向振动中还存在旋转频率的奇次倍频成分和分数谐波成分或高次谐波成分；滚动轴承的运动特性分析结果表明保持架及滚动体可能会分别引起大约为0.6倍的旋转频率及大约为4.8倍旋转频率的飞轮径向振动成分。

表1 飞轮径向振动频率成分表

3 试验验证

为了验证飞轮径向振动频率成分的理论分析结果，作者利用朗斯公司生产的集成IC压电式三轴加速度传感器LC0161A、安捷伦公司生产的动态信号分析仪35670A和某型号飞轮A、B及相应的驱动设备组建了飞轮振动测量系统。

图3所示为某型号飞轮A在旋转频率分别为30 Hz、40 Hz和50 Hz稳定状态时的径向振动加速度频谱，横坐标为频率，纵坐标表示振动加速度幅值。尽管飞轮的旋转频率发生了变化，但是径向振动频谱中旋转频率f仍为主要成分，这一实际情况证明理论分析中得出的飞轮径向振动频谱中包含旋转频率f成分这一结论。频谱中旋转频率高次倍频成分的出现从一定程度表明飞轮振动具有非线性特性。

图4所示为某型号飞轮B在较高转速（60 Hz）稳定状态下的径向振动加速度频谱，横坐标为频率，纵坐标表示振动幅值。此时，飞轮径向振动频谱中除了包含旋转频率f成分及其非线性特征的奇次倍频成分3 f、5.02 f和未知来源的3.8 f频率成分外，频谱中还出现了滚动轴承保持架运动特征成分0.6 f，外圈上滚动体通过频率成分4.8 f以及旋转频率f的偶次倍频成分2 f、4 f等。由此表明理论分析中提到的振动频谱中可能存在与滚动轴承相关的运动特征频率成分的结论是正确的，即在高速情况下振动频谱中会出现保持架的运动特征频率成分0.6 f及滚动体的通过频率成分4.8 f。

文献［10］中指出飞轮径向振动频谱中存在着保持架的运动特征频率成分0.6f，但是所给出的数据显示在飞轮低转速（10 Hz）情况下的振动频谱中便存在着保持架的运动特征频率成分0.6 f，这与本文所研究得出的高速状态下才会表现出保持架的运动特征频率成分0.6 f有一定的出入。

图3中3种转速下的频谱中均存在有明显的3.8 f频率和5.8 f频率的振动成分，是否与非线性组合频率项有关还有待进行深入的理论分析和研究。虽然通过弱非线性达芬系统分析得出了飞轮振动频谱中存在着转速频率的奇次倍频成分，但是飞轮高速状态下所出现的偶次倍频成分2 f、4f表明在对飞轮的非线性振动分析中采用带3次非线性函数的达芬方程来描述系统存在着误差，需要作进一步地改进。此外，实际上图3和图4中飞轮径向振动频谱还存在高次倍频成分幅值较大的现象，导致出现这一现象的具体原因有待进一步研究。

图3 某型号飞轮A在不同转速下的径向振动加速度频谱

4 结 论

本文通过简化飞轮结构，利用经典线性振动理论、弱非线性近似解析方法以及基本运动学原理进行分析，得出飞轮振动频谱中存在飞轮旋转频率成分及其高次倍频成分的结论，通过建立振动测量系统，得到实际测量数据，表明该理论分析结论是合理、准确的。

图4 某型号飞轮B在旋转频率为60Hz时的径向振动加速度频谱

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Analysis and Validation of Flywheel Vibration Spectrum Characteristics

WANG Quanwu1，HU Gang2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China）

Flywheel is an important disturbance source that affects the accuracy of spacecraft attitude control.Flywheel vibration spectrum characteristics are discussed in this paper based on the linear vibration system theory and the fundamental perturbation method for weak nonlinear systems.Ball bearing frequency characteristics of faults are also considered.It is indicated that flywheel vibration spectrum consists of a series of spectrum components with frequency proportional to the speed of flywheel.Experiments are conducted to illustrate the results.

flywheel；vibration；spectrum componen

TH133

A

1674-1579（2008）04-0042-05

2008-03-30

王全武（1982-），男，黑龙江人，硕士，研究方向为航天器执行机构振动测量与分析技术（e-mail：quanwuwang@gmail.com）。