北师大版教材“乘法分配律”知识的梳理与启示

吴锐洁

【摘   要】“乘法分配律”这一知识点，除了新课教学之外，在教材中的具体呈现方式，可以分成“渗透”与“应用”两种情况。在乘法分配律没有正式学习以前，教材中已经有多处应用，这种“未学先用”的情况非常特殊，教师需要理清整套教材中乘法分配律的知识线，寻找合适的语言表达乘法分配律，重视理解乘法对减法的分配律和除法的分配律。

【关键词】乘法分配律;教材梳理

“乘法分配律”是非常重要的规律，2013年教育部审定的北京师范大学出版社出版的数学教材（以下简称“教材”），将“乘法分配律”这一教学内容安排在四年级上册，但是在二、三年级中却经常出现需要应用乘法分配律解决的问题，这种“未学先用”的情况非常特殊。本文对整套北师大版教材，即一至六年级教材中有关“乘法分配律”的内容进行了梳理，试图弄清乘法分配律的“前世今生”，以便一线教师更好地进行教学。

“乘法分配律”这个知识点，除了新课教学之外，在教材中的具体呈现方式，可以分成“渗透”和“应用”两种情况。

渗透乘法分配律是指教材在编写某一教学内容时，学生还没有学习过乘法分配律，但为了让学生提前接触、感知，编者会有意编写这方面的内容，让学生从侧面感知、了解这一運算定律。比如，在乘法口诀的教学中，教材有意识地安排了与分配律相关的内容，这就是“渗透”。

应用乘法分配律是指教材在编写某一教学内容时，一定要用到乘法分配律，否则就无法说清运算的道理或者较难进行简便运算。比如，在学习两位数乘一位数时，就一定要应用乘法分配律才能说明算理，这就是“应用”。

一、渗透与应用

下面将从乘法分配律的渗透与应用入手，对一至六年级的教材进行梳理，分别阐述各年级新课教学中乘法分配律的渗透与应用情况。

（一）一年级中乘法分配律的渗透

一年级时，学生还没有学习乘法，教材就已经出现了“乘法分配律”的渗透。如一年级下册“整十数的加减运算”中，有“20+30=？，50-10=？”这样的问题。教材呈现中，引导学生解决这些问题时借用小棒模型、计数器和文字说明来解释整十数加减整十数的算理。事实上，20+30为什么等于50，可以解释为：因为2个十加3个十就是（2+3）个十，是5个十，所以是50。同样50-10=40，也是因为5个十减去1个十，就是（5-1）个十，是4个十，所以是40。这样的说明过程可以使整十数加减法的计算更为严密，同时也渗透了乘法对加法的分配律和乘法对减法的分配律。

（二）二年级中乘法分配律的渗透与应用

二年级学习乘法口诀时，教材对乘法分配律做了以下三个层次的安排。

1.在乘法口诀的记忆中渗透“乘法分配律”

如教材在呈现乘法口诀的记忆方法时，先引导学生思考“怎样记住5的乘法口诀”以及“你觉得哪句乘法口诀不太好记”，然后提示“只要记住五六三十，再加1个5，就是五七三十五了”以及“三七二十一，再加上1个7就是……”等，都体现了对乘法分配律的渗透。

2.出现“乘法分配律”具体算式的雏形

教材在口诀教学中，还用点子图、数线图与算式相结合的方式，直接呈现了具体计算中乘法分配律的雏形（如图1）。

通过计算过程的再现，引导学生先算6×5，再算6×2，然后把两部分加起来，得到6×7的结果。或通过结合数线图把8个7分成两部分，先算6个7和2个7分别是多少，进而得出8个7是多少的结果，并将两个相等的算式用等号连接起来。这也已经是乘法分配律的雏形了。这样的呈现对学生进一步学习乘法分配律是有帮助的。

3.拓展练习中“乘法分配律”的应用

教材中有一些打了“？”的拓展练习，不要求所有学生掌握，但要求部分优等生能够解决这些问题，答题时需要应用“乘法分配律”的内容。如：“9×3-9=？”“想一想，算一算。2+4+8=（）×2”等。学生要计算“9×3-9=？”就可以将此理解为：3个9里面去掉1个9，还剩2个9。而思考“2+4+8=（）×2”，可以直接考虑每个加数中2的个数，1个2加上2个2加上4个2，一共是7个2。这样的理解与思考本质上都是在应用乘法分配律。

（三）三年级中乘、除法分配律的渗透与应用

三年级学习两位数乘或除以一位数时，教材呈现的内容有乘法对加法分配律的渗透与应用，也有除法对加法分配律的渗透与应用。

1.两位数乘一位数中，乘法对加法分配律的渗透与应用

教材中多处呈现了与“两位数乘一位数”相关的内容。比如教材借助人民币中10元与2元不同面值的纸币，引导学生思考如何计算“12×3=？”的例题。为了把两位数乘一位数转化成用已有的知识来解决的问题，需要把两位数拆分成整十数与一位数相加，即“12=10+2”，拆分后的两个加数分别与一位数相乘，再相加。这个过程实质上是乘法对加法分配律的应用。

2.两位数除以一位数中，除法对加法分配律的渗透与应用

学习两位数除以一位数的计算方法，与乘法类似，也需要有一个转化的过程。这一过程中同样需要用到拆分，比如，计算“36÷3=？”就会转化成“（30+6）÷3=30÷3+6÷3”。这个过程实质上是除法对加法分配律的应用，教材呈现了这一拆分的过程，并用分步算式说明计算过程，这样的问题解决本质上是应用乘法分配律。

3.长方形周长教学时，乘法对加法分配律的渗透

在长方形周长的教学中，虽然教材没有出示用字母表示的周长公式，但在用多种不同方法解决周长问题的过程中，“分别量出长和宽，再把2个长和2个宽加起来”和“先把1个长和1个宽加起来，再乘2”两种方法等价的本质也是乘法分配律。

4.两、三位数乘、除法中，乘法、除法对加法分配律的应用

两位数乘一位数的竖式计算，是笔算乘法的开始。解释为什么可以这样列竖式计算的过程，就是说明乘法分配律意义的过程。比如，“12×4”的竖式计算，实质上是“（2+10）×4=2×4+10×4”，这个过程中算理的解释，就是乘法分配律在计算中的应用。同样，要说明“888÷6=148”，实质上是要说明把888分成600、240和48后，用“600÷6+240÷6+48÷6”，得到 “100+40+8=148”，这是除法对加法分配律在计算中的应用。教材中乘、除法计算教学对“竖式”道理的解释，都应用了分配律。

（四）四上年级中的乘、除法分配律

教材安排在四年级上册第四单元正式学习“乘法分配律”。第三单元学的是三位数乘两位数，在学习三位数乘两位数的竖式中，有乘法对加法分配律的应用，这与三年级两、三位数乘一位数的竖式计算思路基本一致，这里不再赘述。

在教学四年级上册“乘法分配律”这一内容时，教材首先创设了一个要求算瓷砖块数的情境，引导学生用多种不同的方法解决问题，进而得到相等的算式。然后引导学生观察算式的特点，发现规律，并概括出字母表达式（a+b）×c=a×c+b×c。接着借用点子图说明4×9+6×9表示4个9加6个9，一共是10个9，同时运用乘法分配律简算诸如34×72+34×28的算式。

本册教材中有多处练习与乘法分配律相关，不再详细介绍。

（五）四下至六年级中的乘、除法分配律应用

四上年级是正式学习乘法分配律的阶段，从四下年级开始到小学毕业，是应用乘法分配律的阶段。具体地说，四下年级的小数加减法，五年级的小数乘除法，分数加减法，长方体棱长和及表面积计算公式，解方程，六年级的分数混合运算中，分数（百分数）应用题、比的应用等内容中，均有乘法分配律的应用。

值得注意的是，在整套教材的编排体系中，只有在四上年级时正式学习了乘法分配律，在整个推导分配律的过程中，用的都是整数，严格地说，这样得到的分配律，应该只适合整数的范围。然而，在小数与分数的四则运算中，多次运用了乘法对加法、乘法对减法的分配律，也多次运用了除法对加法、除法对减法的分配律。乘法分配律在小数、分数范围内也同样成立，这一规律的得出并没有经过重新推导、重新教学，而是先后用“智慧老人”的话“整数的运算律在小数中同样适用”和“整数的运算律在分数中同样适用”，将整数中的分配律推广到了小数和分数。

经过以上梳理可以看到，“乘法分配律”（也包括除法分配律）作为运算体系中重要的规律，在整套小学数学教材中的渗透或应用主要体现在以下几个方面。

（1）加减法计算，包括整数、小数、同分母分数相加减，体现在相同计数单位和相同分数单位相加减;（2）乘除法计算，包括乘法口诀，两、三位数乘一位数，两、三位数乘两位数，两、三位数除以一位数的除法，小数除法等;（3）四则混合运算，主要是整数、小数、分数的四则混合运算;（4）问题解决，包括列方程解应用问题（含相遇问题），分数、百分数应用题，比的相关应用问题等;（5）部分几何知识领域，包括长方形周长、面积，长方体棱长和、表面积等。

二、启示与建议

梳理是为了更好地把握。对整套教材与“乘法分配律”相關的知识进行梳理以后，得到了很多启示和教学建议。

（一）努力把握“乘法分配律”的知识线

作为一线教师，要尽量把握教材的整体结构，厘清新旧知识之间的联系以及教材编者的意图。明确“乘法分配律”这个知识，前有直观图、意义、横式、竖式中的渗透与应用，后有“乘法分配律”在小数、分数运算和几何领域中的应用。

（二）运用合适的语言表达“乘法分配律”

从上面的梳理中可以看到，教材在正式呈现“乘法分配律”教学内容之前，已经在渗透或应用分配律。教学的时候用什么样的语言，适当地表达出乘法分配律，就成为教师面临的问题。首先，教师要能够识别出“分配律”的内容，也就是要对教材中哪里有渗透、哪里有应用弄清楚想明白;其次，要结合当时的内容，寻找到合适的表达语言。在正式学习之前，特别是在渗透时，比较好的表达方式是：几个几加几个几合起来是几个几，反之，几个几可以分为几个几和几个几。

（三）要充分认识乘法对减法分配律的重要性

平时大家说的乘法分配律常常只是指乘法对加法的分配律。事实上，不但乘法对加法的分配律是成立的，乘法对减法的分配律也同样成立，而且有着广泛的应用价值。建议一线教师重视乘法对减法的分配律，让学生能够理解并掌握。比如，有一类稍复杂的分数应用题，在解决时，会出现类似于下面这样的算式：40-40×[25]和40×（1-[25]），x-[17]x=12和（1-[17]）x=12，每组中的两个算式为什么具有相等关系，本质上需要运用乘法对减法的分配律来阐述。

（四）要重视理解除法的左、右分配律

学生在学习乘法对加法的分配律时是不分左、右的，这是因为乘法运算满足交换律，但由于除法运算不满足交换律，它就有了“左右分配律”之说。事实上，除法的左分配律是不成立的，也就是a÷（b+c）=a÷b+a÷c这个等式不成立，而除法的右分配律（b+c）÷a=b÷a+c÷a是成立的。特级教师朱乐平认为“在小学探索除法分配律是可行的”。建议一线教师在教学中，引导学生理解除法的分配律，从而减少类似“5÷（[56]+[59]）或1.2÷2.4+1.2÷0.6”这样的题目的出错率。

参考文献：

[1]朱乐平.“除法分配律”教学设计及说明[J].小学教学（数学版），2020（7/8）：55-59.

（广东省深圳市宝安区西乡小学   518102）