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实数与数轴典型习题解读

2008-09-27黄继苍

关键词:开方计算器实数

黄继苍

根据上节所学内容,并由实际问题出发,本节引入了无理数,从而将数的概念从有理数扩展到了实数.实数是进一步学习数学的基础,是本章的又一重点.现以本节及本章的典型习题为例,分类解读如下,供同学们学习时参考.

一、实数与数轴

例1(1)如图1,数轴上表示数 的点是.

(2)如图2,数轴上点P表示的数可能是().

A. B. - 3.2 C. - D. -

(3)如图3,数轴上表示1, 的对应点为A、B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是().

A. 2 - B.- 2

C. - 1 D. 1 -

解析:(1)点B.

(2)C.

(3)依题意,得CA = AB =- 1,

∴OC = OA - CA = 1 - ( - 1) = 2 - .故应选A.

点评:利用估算或借助计算器可迅速获得(1)“由数寻点”,(2)“由点找数”的结果;第(3)题要注意数形结合,利用中心对称图形的性质.从本题可体会到数轴上的点并不都表示有理数,有理数和数轴上的点不是一一对应的,从而加深对“实数与数轴上的点是一一对应的”这一性质的认识.

二、实数的分类

例2把下列实数按要求进行分类.

-, ,0.3, ±, , -, 3.14, , ,0.212 112 111 211 112…,5.181 881 888,0.

有理数:;

无理数:.

解析:实数可分为有理数和无理数两类,根据有理数(整数与分数)与无理数的意义进行分类.

有理数:0.3, ±, -, 3.14, ,5.181 881 888,0;

无理数: -, , , ,0.212 112 111 211 112….

点评:判断一个实数是有理数还是无理数,要根据其结果,而不是看它的形式.例如带根号的数不一定是无理数, ± =±就是有理数中的分数;写成分数形式的 , 不是有理数中的分数,而是无理数.对无理数要抓住“无限”与“不循环”这两个特征,缺一不可.课本中学习的无理数主要是:①被开方数是开方开不尽的数,如 , 等;②特定意义的数,如圆周率π;③还有一类是特定结构的无限不循环小数,如0.212 112 111 211 112….注意5.181 881 888是一个有限小数,属于有理数中的分数.

三、实数的计算

例3求值:+ - |π - |.(精确到0.01)

解析:可直接一次用计算器计算,最后按题目要求写出结果.原式≈2.17.

点评:有理数的运算性质及运算律在实数范围内仍然适用.用计算器求一个数的立方根时,应先按第二功能键,再按书写顺序按键.

四、本章亮点题

所谓“亮点题”,就是试题回归课本,突出基础,但题目的形式与提出问题的方式较为新颖或有所创新,体现一定的开放性与灵活性,体现对同学们能力的考查,体现新课程标准的基本理念.现以《数的开方》一章中的试题为例介绍如下.

1. 开放题

例4写出一个有理数和无理数,使它们都是大于 - 2的负数:.

解析:答案不唯一,如 - 1和 -等.

点评:这类试题对培养同学们的发散思维能力,概念辨析能力都十分有益.

2. 类比联想题

例5联想学过的平方根与立方根的意义,试求 ± = ,=.

解析:联想学过的平方根与立方根的意义,不难想到 ±应该表示625的四次方根,因为( ± 5)= 625,所以 ± =± 5;应该表示 - 32的五次方根,因为( - 2) = - 32,所以= - 2.

点评:开方的结果叫方根,《数的开方》一章中我们只学习了最简单的开平方与开立方,同学们如能通过学习、类比平方根与立方根,了解四次方根、五次方根,乃至n次方根的意义、性质及求法,才是新课程标准所希望的.

3. 新定义题

例6定义运算“@”的运算法则为:x @ y =,则(2 @ 6)@ 8 =.

解析:根据所给的运算法则,原式 = @ 8 = 4 @ 8 = =6.

点评:解这类题的关键,是读懂题意,利用转化这一重要的数学思想,把题目中新定义的运算法则,转化为我们学过的常规运算问题.

4. 探求规律题

例7图4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①、②、③、④、⑤、…,则第n个等腰直角三角形的斜边长为.

解析:由图知,前4个等腰直角三角形的斜边长依次为 、=、=、=,因此,不难猜想第n个等腰直角三角形的斜边长为 .

例8用计算器计算, ,,…,请你猜测的结果为.

解析: 用计算器计算所给的三个算式,得= 10, = 100,= 1 000.

所以 =.

点评:探求规律的试题,是近年命题的一个热点.通过观察所给的算式,由特殊到一般进行分析、猜想、归纳,这是一种合情推理,有时还需要进行逻辑推理等探索过程.

5. 阅读理解题

观察以上计算结果,完成下列问题:

(1)(a为实数)一定等于a吗?你发现了其中的规律了吗?试用合适的语言描述出来.

(2)利用你总结的规律,化简 +(其中2 < x <3).

(3)实数a、b在数轴上的位置如图5,化简+ + |a + b|.

解析: 6,6,0,, .

(1) (a为实数)不一定等于a,其规律可用数学式子表达为 = |a|.

(2)因为2 < x < 3,所以x - 2 > 0,x - 3 < 0.故原式 = |x - 2| + |x - 3| =x - 2+3 - x = 1.

(3)观察数轴可知,a < 0,b > 0,a + b < 0,故原式 = - a+b+( - a - b) =

- 2a.

点评:本题以几道计算题为切入点,让同学们通过计算、观察,归纳出一般结论,再用所得的结论解决问题.考查了大家的阅读能力、归纳能力及应用所学知识解决问题的能力,渗透了由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的一般规律.

1. 课本中为说明数轴上的点并不都表示有理数,利用“边长为1的正方形的对角线为 ”,在数轴上找到了无理数所表示的点,如图6.那么这种利用图形直观说明问题的方式,体现的数学思想方法叫().

A. 代入法 B. 换元法

C. 数形结合 D. 分类讨论

2. 在 -, ,π, - 1.010 010 001, 中,无理数的个数是().

A. 1B. 2C. 3D. 4

3.求下列各式的绝对值与相反数.

(1)1.73 -.(2)3.142 - π.

4. 用开平方或开立方的方法求下列各式中的x.

(1)(x+ 2)2 = 100.(2)(2 - x)3 + = 0.

5. 求值:+ - π.(保留两位小数)L

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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