实数与数轴典型习题解读

黄继苍

根据上节所学内容，并由实际问题出发，本节引入了无理数，从而将数的概念从有理数扩展到了实数.实数是进一步学习数学的基础，是本章的又一重点.现以本节及本章的典型习题为例，分类解读如下，供同学们学习时参考.

一、实数与数轴

例1（1）如图1，数轴上表示数 的点是.

（2）如图2，数轴上点P表示的数可能是（）.

Ａ． Ｂ． - 3.2 Ｃ． - Ｄ． -

（3）如图3，数轴上表示1， 的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）.

A. 2 - B.- 2

C. - 1 D. 1 -

解析：（1）点B.

（2）C.

（3）依题意，得CA = AB =- 1，

∴OC = OA - CA = 1 - （ - 1） = 2 - .故应选A.

点评：利用估算或借助计算器可迅速获得（1）“由数寻点”，（2）“由点找数”的结果；第（3）题要注意数形结合，利用中心对称图形的性质.从本题可体会到数轴上的点并不都表示有理数，有理数和数轴上的点不是一一对应的，从而加深对“实数与数轴上的点是一一对应的”这一性质的认识.

二、实数的分类

例2把下列实数按要求进行分类.

-， ，0.3， ±， ， -， 3.14， ， ，0.212 112 111 211 112…，5.181 881 888，0.

有理数：；

无理数：.

解析：实数可分为有理数和无理数两类，根据有理数（整数与分数）与无理数的意义进行分类.

有理数：0.3， ±， -， 3.14， ，5.181 881 888，0；

无理数： -， ， ， ，0.212 112 111 211 112….

点评：判断一个实数是有理数还是无理数，要根据其结果，而不是看它的形式.例如带根号的数不一定是无理数， ± =±就是有理数中的分数；写成分数形式的 ， 不是有理数中的分数，而是无理数.对无理数要抓住“无限”与“不循环”这两个特征，缺一不可.课本中学习的无理数主要是：①被开方数是开方开不尽的数，如 ， 等；②特定意义的数，如圆周率π；③还有一类是特定结构的无限不循环小数，如0.212 112 111 211 112….注意5.181 881 888是一个有限小数，属于有理数中的分数.

三、实数的计算

例3求值：+ - |π - |.（精确到0.01）

解析：可直接一次用计算器计算，最后按题目要求写出结果.原式≈2.17.

点评：有理数的运算性质及运算律在实数范围内仍然适用.用计算器求一个数的立方根时，应先按第二功能键，再按书写顺序按键.

四、本章亮点题

所谓“亮点题”，就是试题回归课本，突出基础，但题目的形式与提出问题的方式较为新颖或有所创新，体现一定的开放性与灵活性，体现对同学们能力的考查，体现新课程标准的基本理念.现以《数的开方》一章中的试题为例介绍如下.

1． 开放题

例4写出一个有理数和无理数，使它们都是大于 - 2的负数：.

解析：答案不唯一，如 - 1和 -等.

点评：这类试题对培养同学们的发散思维能力，概念辨析能力都十分有益.

2． 类比联想题

例5联想学过的平方根与立方根的意义，试求 ± = ，=.

解析：联想学过的平方根与立方根的意义，不难想到 ±应该表示625的四次方根，因为（ ± 5）= 625，所以 ± =± 5；应该表示 - 32的五次方根，因为（ - 2） = - 32，所以= - 2.

点评：开方的结果叫方根，《数的开方》一章中我们只学习了最简单的开平方与开立方，同学们如能通过学习、类比平方根与立方根，了解四次方根、五次方根，乃至n次方根的意义、性质及求法，才是新课程标准所希望的.

3． 新定义题

例6定义运算“@”的运算法则为:x @ y =，则（2 @ 6）@ 8 =.

解析：根据所给的运算法则，原式 = @ 8 = 4 @ 8 = =6.

点评：解这类题的关键，是读懂题意，利用转化这一重要的数学思想，把题目中新定义的运算法则，转化为我们学过的常规运算问题.

4． 探求规律题

例7图4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤、…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为.

解析：由图知，前4个等腰直角三角形的斜边长依次为 、=、=、=，因此，不难猜想第n个等腰直角三角形的斜边长为 .

例8用计算器计算， ，，…，请你猜测的结果为.

解析： 用计算器计算所给的三个算式，得= 10， = 100，= 1 000.

所以 =.

点评：探求规律的试题，是近年命题的一个热点.通过观察所给的算式，由特殊到一般进行分析、猜想、归纳，这是一种合情推理，有时还需要进行逻辑推理等探索过程.

5． 阅读理解题

观察以上计算结果，完成下列问题：

（1）（a为实数）一定等于a吗？你发现了其中的规律了吗？试用合适的语言描述出来.

（2）利用你总结的规律，化简 +（其中2 ＜ x ＜3）.

（3）实数a、b在数轴上的位置如图5，化简+ + |a + b|.

解析： 6，6，0，， .

（1） （a为实数）不一定等于a，其规律可用数学式子表达为 = |a|.

（2）因为2 ＜ x ＜ 3，所以x - 2 ＞ 0，x - 3 ＜ 0.故原式 = |x - 2| + |x - 3| =x - 2+3 - x = 1.

（3）观察数轴可知，a ＜ 0，b ＞ 0，a + b ＜ 0，故原式 = - a+b+（ - a - b） =

- 2a.

点评：本题以几道计算题为切入点，让同学们通过计算、观察，归纳出一般结论，再用所得的结论解决问题.考查了大家的阅读能力、归纳能力及应用所学知识解决问题的能力，渗透了由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的一般规律.

1. 课本中为说明数轴上的点并不都表示有理数，利用“边长为1的正方形的对角线为 ”，在数轴上找到了无理数所表示的点，如图6.那么这种利用图形直观说明问题的方式，体现的数学思想方法叫（）.

Ａ． 代入法 Ｂ． 换元法

Ｃ． 数形结合 Ｄ． 分类讨论

2. 在 -， ，π， - 1.010 010 001， 中，无理数的个数是（）.

A． 1B． 2C． 3D． 4

3.求下列各式的绝对值与相反数.

（1）1.73 -.（2）3.142 - π.

4. 用开平方或开立方的方法求下列各式中的x.

（1）（x+ 2）2 = 100.（2）（2 - x）3 + = 0.

5. 求值：+ - π.（保留两位小数）L

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”