解读平方根与立方根

毕保洪

对于平方根和立方根，本文从课本、中考题型和数学思想的角度进行解读.

一、注重“一二三四五”，平方根的学习没问题

1. 明白一种运算

求一个数的平方根的运算叫开平方.开平方是继加、减、乘、除和乘方后的第六种运算.开平方与平方是一对互逆的运算.

例1（1）求（-4）2；

（2） 求9的平方根.

分析：（1）显然是求一个数的平方， （-4）2=16；

（2）是求9的平方根，所得结果为±3.

2. 了解两种定义

（1） 文字语言叙述：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根（或二次方根）.

（2）数学语言叙述：如果x2=a （a≥0），那么x就叫a的平方根.正数a的平方根有两个，记为± .其中 叫a的算术平方根，0的平方根和算术平方根都是0.

例2（-5）2的平方根是（）.

A. 5 B. -5 C. ±5 D.±

分析： 因为（-5）2=25，（±5）2=25 ，所以25的平方根是±5，故应选C.

3. 掌握三条性质

（1）正数有两个平方根，它们互为相反数，如例1中的（2）.

（2）0的平方根和算术平方根是它本身.如0的平方根是0，即

± ；其算术平方根也是0，即 =0.

（3）负数没有平方根，更没有算术平方根（也就是说在目前找不到一个数的平方是负数）.

例3已知一个正数x的平方根是a+1，a-3，则x=.

分析：由正数的平方根互为相反数得，（a+1）+（a-3）=0，a=1，即x的平方根是 ±2.所以x=4.

4. 切记四点注意

（1）± 表示a的平方根， 表示a的算术平方根，它们都是在a≥0的条件下才有意义.

（2） 根号左上角的数叫根指数，当根指数是2时，通常省略不写.如“二次根号5”通常写成 ，而不写成“ ”.立方根的根指数是3，是绝对不能不写的，如 若不写根指数3，就变成了 ，其意义就发生了改变.

（3）当 a≥0时， 是非负数；当a＜0时， 没有意义.如 是无意义的.

（4）“当a≥0时， 是a的平方根”是正确的； “当a≥0时， a的平方根是 ”却是不正确的.

例4求式子 + +4的值.

分析：∵ 与 有意义，

∴a-2≥0，2-a≥ 0.

∴a≥2，a≤2.

∴a=2.

∴原式的值为0+0+4=4.

5. 明确五点不同

平方根与算术平方根是有区别的，主要有五点“不同”.

（1）定义不同.

平方根的定义是“如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根”，0的平方根是0.而算术平方根的定义是“如果一个非负数的平方等于a，那么这个非负数就是a的平方根”，很显然， 0的算术平方根是0.

（2）表示方法不同.

正数a的平方根可表示为± ；正数a的算术平方根则表示为 .

（3） 读法不同.

正数 a的平方根± 读作“正、负根号a”； 正数a的算术平方根 读作“根号a”.

（4）个数不同.

正数的平方根有两个，它们是一对相反数，0的平方根有一个，即0；正数的算术平方根只有一个，0的算术平方根也只有一个，即0.

（5）包含关系不同.

一个非负数的平方根包含它的算术平方根.但是， 一个非负数的算术平方根却只是这个数的平方根的一部分.

二、学习立方根应对比平方根

在学习立方根时，可以与平方根对比着理解和学习.

1. 定义相似，结论不同

立方根定义是：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫a的立方根.即如果x3=a， 那么x叫a的立方根（或者三次方根），记作（这与平方根的定义相似）.因为33=27、03=0、（-3）3=-27，所以3、0、-3分别是27、0、-27的立方根.正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根仍是0.（这与平方根的结论是不一样的）

例5立方根等于3的数是（ ）.

A. 9 B.±9 C. 27 D.±27

分析：因为一个数的立方根只有一个，所以B、D不正确.又因为33=27，所以3是27的立方根.故应选C.

例6如果A= 为a+3b的算术平方根，B= 为1-a2的立方根，求A+B的平方根.

分析： 由A是a+3b的算术平方根可知根指数a-2b+3=2，B是1-a 2的立方根可知根指数2a-b-1=3.

解方程组a-2b+3=2，2a-b-1=3，

得a=3，b=2.

A= =3，B= =-2，A+B=1.

所以 ± =± =±1.

2． 求平方根、立方根的方法

简单数的平方根、立方根易于看出或笔算求出，对于笔算不易求出的数的平方根、立方根可以用计算器来求.

三、“两根”中的主要数学思想

1. 转化的数学思想

转化思想主要应用在：求一个复杂的数的平方根时可转化为求一个简单的数的平方根，求一个负数的立方根时，可以转化为求一个正数的立方根的相反数等.

例7（1）求 的平方根.

（2）求 的立方根.

分析：（1） 因为 = =9， 所以9的平方根为± =±3，即 的平方根为±3.

（2） 因为 =- =-2，-2的立方根是 =- ，所以 的立方根是- .

2. 分类的数学思想

分类思想主要体现在：研究平方根、算术平方根及立方根时，都是将数按其符号进行分类讨论的.如一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根.任何一个数都有一个立方根，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0等.

3. 方程的思想

可以用方程的观点、知识去处理平方根、立方根的相关问题，这也是本章的一个亮点.如：要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？就是说x2=25，求x.再如例6实际上就是渗透了方程的思想方法.

4.归纳的数学思想

归纳思想的应用较多.如在探究 等于什么时，采用了a=2，-2，3，-3，然后就归纳出 =|a|=a（a≥0），-a（a < 0）的结论.再如对 × 与 ， ×与 ，用计算器算出× = ， × = 后，便可归纳出 • = （a≥0，b≥0）.

例8观察下列各式：

=2 ，

=3 ，

=4 ，

……

请你猜想其规律，并用含自然数n的代数式表示出来.

分析：观察后发现等号左边根号内整数移到等号右边根号外增加1，等号左边根号内分数移到等号右边后仍在根号内，所以归纳出一般式为 =（n+1） .L

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”