巧用算术平方根的两个非负性

吴建英

同学们知道， 具有双重非负性：被开方数具有非负性，即 a ≥ 0； 具有非负性，即≥ 0．在解决与此相关的问题时，如果能仔细观察，认真地分析题目中的已知条件，挖掘出题目中隐含的算术平方根的这两个非负性，解题时可收到事半功倍的效果．

一、利用 中的a ≥ 0解题

例1若x、y满足+ + y = 4 ，则xy =．

分析：此题是代数式求值问题，从表面上看，两个未知数，只有一个方程，无法确定x、y的值．但仔细观察会发现，被开方数恰好是互为相反数的两个量，由被开方数的非负性可知，二者只能同时为零，从而可求出x、y的值，再求出xy的值．

解：∵x、y满足+ + y = 4，

分析：由题可知|x - y + 2|＋= 0．因为一个数的绝对值、算术平方根均是非负数，所以利用非负数的性质“若干个非负数的和为零，则其中每个非负数均为零”即可求解．

解：由题意得|x - y + 2| + = 0．

分析： 进行绝对值化简的关键是判断出绝对值内代数式的正负号，这里需先确定出x的范围．

解：由算术平方根的性质②及已知，得x - 3 ≥ 0，即x ≥ 3．

例4若x、y满足 + y2 - 6y + 9 = 0，且axy - 3x = y，则a等于．

分析：要求a值，就必须求出x、y值．把+ y2 - 6y + 9 = 0变形为+ （y - 3）2 = 0，发现是两个非负数之和为零问题，要使等式成立，只能使和（y - 3）2同时为零，从而列出方程，求出x、y值，进而使问题得解．

解：∵x、y满足+ y2 - 6y + 9 = 0，

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”