利用提公因式法解题

刘学杰

提公因式法是分解因式的“专利”吗？不是的！对其他许多数学题，若能根据题目的特点，灵活运用提公因式法，往往会收到意想不到的效果.现举例说明.

[一][利用提公因式法简化计算]

例1计算：0.124×255+36.5×1.24-12.4×2.75+0.124×655.

分析：如果分别运算，显然有一定的难度.但四个乘积中都可以寻找到0.124的“倍数”，所以可以将0.124提出，或许可以简化运算.

解：原式=0.124×（255+365-275+655）=0.124×1 000=124.

说明：通过对本题的求解可以看出，提取了公因数，不但大大降低了运算难度，而且快速准确.

[二][利用提公因式法比较大小]

例2已知a=-，b=-，c=-，试用不等号将a、b、c连接起来.

分析：如果分别求出a、b、c，显然不易完成.考虑到有关数据较大，可以采用作差法，或许通过提取公因数能够简化运算.

解：a-b=-+=×

-.

因为>1，＜1，所以a-b>0，a>b.同理可得b-c>0，b>c.所以a>b>c.

说明：通过分析数字特点，巧妙地作差，然后提取公因数，大大降低了运算的难度.

[三][利用提公因式法求值]

例3已知a=2 005x+2 006，b=2 005x+2 007，c=2 005x+2 008，试求代数式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.

分析：若要先求出a、b、c的值，则肯定无法办到.但是，要求的代数式通过分组后有公因式可提取，同时已知条件两两相减也可以得到a-b、b-c和c-a的值，从而可以较方便地求解.

解：因为a=2 005x+2 006，b=2 005x+2 007，c=2 005x+2 008，所以a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.

∴a2+b2+c2-ab-bc-ca

=（a2-ab）+（b2-bc）+（c2-ca）

=a（a-b）+b（b-c）+c（c-a）

=-a-b+2c

=（c-a）-（b-c）

=3.

说明：本题也可通过a2+b2+c2-ab-bc-ca=［（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2］求解.

[四][利用提公因式法帮助说理]

例47204-5×7203+3×7202能被17整除吗？说说你的理由.

分析：能不能被17整除，关键是看是否含有因数17，因此可以采用分解因数的方法.原式中三项的公因数是7202，可将各项中的7202提出，以寻求解法.

解：7204-5×7203+3×7202能被17整除，因为7204-5×7203+3×7202=72×7202-5×7×7202+3×7202=7202（72-5×7+3）=7202×17.

说明：看一个多项式形式表示的数能否被某个数整除，通常采用分解因数的方法.这类题目一般技巧性强，要多在审题上下些功夫.

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[练习]

1. 计算：2.854×4.362-4.362×1.8-0.054×4.362.

2. 对于任意自然数n，2-2n能被15整除吗？为什么？

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