分解因式的作用、意义与方法

作者简介：孔凡哲，课程与教学论（数学）博士．主要从事数学教育、课程与教学、教师教育等领域的研究．现任国家基础教育实验中心副主任，东北师范大学教育科学学院教育类公共课主任、课程与教学系教授、硕士生导师．受聘于教育部，参与全国高考数学命题工作、义务教育阶段数学课程标准研制工作、高中数学课程标准研制工作，担任义务教育课程标准实验教科书数学分册主编．先后在《教育研究》、《课程·教材·教法》、《中国教育报》、《数学教育学报》、《数学通报》等公开发表学术论文近180余篇，正式出版《课程标准与教学大纲对比研究·初中数学》等专著30余部，承担国家级、省级科研项目10余项．

分解因式有什么用？分解因式是什么意思？其基本方法有哪些？学好分解因式需要达到什么目标？这些问题都是我们在学习这部分内容时无法回避的.

一、为什么要学习分解因式？

就整个教材而言，《分解因式》这一章起到承上启下的作用：一方面，它是整式乘法的逆向变形，学习它，可以深化我们对整式运算的理解.另一方面，分解因式的变形，不仅体现了一种“化归”的思想，而且是分式化简、解方程等的必要前提和必备基础.

在判断即将学到的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有根时，就等价于看二次三项式ax2＋bx＋c能否分解为a（x－b1）（x－b2）的形式.

同样地，我们将来会知道，两个分式作加减运算时需要通分，而通分本质上就是分母的分解因式问题.

二、怎样才能更好地理解和掌握分解因式的意义？

我们可以从两个方面加以理解：

一方面，要对比分解因数理解分解因式.我们以前学习过分解因数，知道分解因数是把数分解成几个数的积的形式．与分解因数相类似，分解因式是把一个多项式化成几个整式的积的形式．

对比二者可以发现，分解因数和分解因式在本质上是一样的，都是要把一个数、式化成几个数、式相乘的形式，都体现了转化（化归）的思想.

二者的不同点在于，分解因数被分解的是数，其结果是几个数的连乘积；而分解因式被分解的是多项式，其结果是几个整式的连乘积.

其实，代数式是数字的进一步抽象，数字本身就属于代数式.所以，从这个层面我们也能够体会到分解因数和分解因式其实是相同的.

另一方面，广泛联系整式乘法来理解和掌握分解因式.

整式乘法是几个整式相乘得出一个整式的过程，如（a－b）（x＋y）＝ax＋ay－bx－by．整式乘法的结果必然是一个单项式或多个单项式和的形式.

而分解因式却恰恰相反，它是将一个多项式分解成几个整式相乘的形式，如ax＋ay－bx－by＝a（x＋y）－b（x＋y）＝（x＋y）（a－b）．分解因式的结果必然是一个积的形式.

可见，分解因式与整式乘法是两个互逆的过程，是整式变形的两个方面．这个互逆的过程，将有助于我们发展逆向思维，培养逆向思考问题的意识和习惯.

三、怎样才能学好分解因式的方法？

1.掌握提取公因式法和公式法——两个基本方法

分解因式的方法有很多，其中最基本的方法是提取公因式法和公式法.

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式相乘的形式，这与乘法结合律十分相似.

运用提取公因式法分解因式的关键在于找到各项的公因式．对于字母，要将各项中都含有的字母（指数取最低的）提出来作为公因式，如果含有整数系数，需要提取其最大公约数.

例1 两个连续奇数的平方差能被4整除吗？

解：设这两个连续的奇数分别是2a－1，2a＋1，a为整数．由题意得

（2a＋1）2－（2a－1）2＝（2a＋1＋2a－1）（2a＋1－2a＋1）＝4a×2＝8a．

因为a是整数，所以8a能被4整除．所以，两个连续奇数的平方差能被4整除.

2.尝试了解分解因式的其他方法

分解因式，除了提取公因式法和公式法以外，还有一些其他的常用方法，如分组分解法、补项拆项法、待定系数法等.

分组分解法，是先根据多项式的特点将其适当分组，然后各组分别变形，如在每组中提公因式，再在各组间提公因式，从而实现分解因式.如分解ax＋by＋ay＋bx，可以分成两组ax＋ay、bx＋by，而每个组都有公因式x＋y，从而再提取公因式x＋y，就达到分解因式的目的，即分解为（a＋b）（x＋y）．

补项法和拆项法，是根据所给多项式的特点，进行拆项或补项，以构造出公因式，或构造出公式的形式，从而运用提取公因式法或公式法分解因式.

待定系数法，是先设原多项式可以分解为两个多项式相乘的形式，其中含有待定系数，再将两个多项式相乘，写成升幂或降幂的形式，利用两个多项式对应相等必然满足对应项的系数相等，列方程组，进而求出待定系数的值，达到分解因式的目的.

当然，在分解因式中，常常综合运用多个方法.

例2 分解因式：x4＋4．

解：x4＋4

＝x4＋4x2－4x2＋4（补项）

＝（x4＋4x2＋4）－4x2（分组）

＝（x2＋2）2－4x2 （运用完全平方公式）

＝（x2＋2＋2x）（x2＋2－2x）（运用平方差公式）

＝（x2＋2x＋2）（x2－2x＋2）（按x的降幂排序）．

3.深刻体会类比思想

本章自始至终都渗透着类比这种重要的思想方法.如类比分解因数的意义引入分解因式的意义，体会、理解、认识分解因式的意义；类比整式的乘法探索分解因式的方法，感受整式乘法与分解因式两种逆向恒等变形的价值.

经过本章的学习，期望你能达到如下目标：

经历探索分解因式的过程，体会整式乘法与分解因式之间的互逆关系.

了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式.

通过乘法公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2与（a±b）2＝ a2±2ab ＋ b2的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达的能力.

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[练一练]

1．a－ab2分解因式的结果是（）.

A． a（1＋b）（1－b） B． a（1＋b）2C． a（1－b）2D． （1－b）（1＋b）

2．分解因式：x2－4＋y2＋2xy＝.

3．分解因式4＋4a＋a2，正确的是（）.

A．4（1＋a）＋a2B．（2－a）2 C．（2＋a）（2＋a）D．（2＋a）2

4．试寻找一个多项式，使它能被多项式x2＋3x＋2与x2＋4x＋3同时整除.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文