因式分解小议

作者简介：田载今，祖籍山西省崞县.20世纪60年代后期至90年代初期，先后在中学、中等师范学校和高等师范院校工作二十余年，从事过中学数学、高等数学、数学教育理论等多门课程的教学工作.1993年从首都师范大学数学系调到人民教育出版社中学数学室工作，1999年任编审、课程教材研究所研究员.先后参加了多种数学教材的研究、编写和修订，这些教材包括《全日制普通高级中学数学教科书》、《九年义务教育初级中学数学教科书》、《中等师范学校数学教科书》.担任《义务教育数学课程标准实验教材》副主编等，曾任《数学通报》编委、北京市数学会理事、北京市数学教育研究会理事，发表过数学教育研究方面的文章30余篇.

1． 什么是因式分解

我们知道，根据整式乘法的运算法则，单项式乘多项式或者几个多项式相乘，所得的积是一个新的多项式.例如：

2m2（m2+3n）=2m4+6m2n，①

（a+b）（a-b）=a2-b2.②

任何一个等式都可以概括成x=y的形式.由等式x=y自然可以得到等式y=x.于是，由等式①、②可以写出

2m4+6m2n=2m2（m2+3n），③

a2-b2=（a+b）（a-b）.④

比较式子①、②和③、④，你有什么想法？

从形式上可以发现，①、②中“=”之前是几个整式相乘，“=”之后是一个多项式；③、④则恰好相反.从这种形式上的区别可以想到，虽然两者是从不同的方向表示同一相等关系，但前者强调几个整式相乘“合成”为一个多项式的过程，而后者强调一个多项式“分解”为几个整式相乘的形式的过程.

一般地，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式），例如式子③、④.这就是说，因式分解是对多项式进行的一种式子变形，变形后的结果是整式乘积的形式.

2． 因式分解是整式乘法的逆运算吗

由上可知，式子①、②属于整式乘法，而式子③、④属于因式分解.它们是相互联系的等式，区别在于①与③、②与④中“=”前后的式子正好位置相反.

整式乘法：几个整式相乘→一个整式.

因式分解：一个多项式→几个整式相乘.

鉴于因式分解与整式乘法的上述区别与联系，有的同学可能会问：能不能说因式分解是整式乘法的逆运算呢？

我们先来看看运算的含义.通常所说的代数运算，是指由两个（或多个）数或式子，按照一定法则，得到一个新的数或式子.整个运算过程可以概括地写成a∗b=c的形式，其中a，b表示参加运算的两个元素（数或式子），∗表示一种运算，c是一个元素，它表示运算结果.例如，整式乘法（x+y）·（x-y）=x2-y2中，整式x+y和x-y是进行运算的两个元素，“·”是运算符号，运算结果是一个整式x2-y2；整式除法（x2-y2）÷（x+y）=x-y中，整式x2-y2和x+y是进行运算的两个元素，“÷”是运算符号，运算结果是一个整式x-y.这也就是说，通常代数运算的过程具有把多个元素合成为一个元素的特征.

因式分解不是把多个元素“合成”为一个元素，而是把一个整式“分解”为多个整式之积，它不具备代数运算的特征.所以它不属于代数运算的范围，而仅是式子的一种分解变形.既然因式分解不属于运算，自然也就不是整式乘法的逆运算了.与数的乘法和除法互为逆运算一样，整式的除法是整式乘法的逆运算.

3． 因式分解的基本方法

进行整式的乘法运算时，方法是很明确的，只要按照乘法的法则逐步具体实施，就能得到作为乘积的多项式.把一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性.提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法.现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法.

提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考.请看下面几道例题.

例1把a4b2-a2b4因式分解.

解法1：a4b2-a2b4=a2b2（a2-b2）=a2b2（a+b）（a-b）.

解法2：a4b2-a2b4=（a2b+ab2）（a2b-ab2）=ab（a+b）ab（a-b）

=a2b2（a+b）（a-b）.

评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法.虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单.通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化.

有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法.

例2把a2c+a2+2ab+b2-b2c因式分解.

解：a2c+a2+2ab+b2-b2c=（a2c-b2c）+（a2+2ab+b2）=c（a+b）（a-b）+（a+b）2=（a+b）［c（a-b）+（a+b）］=（a+b）（ac-bc+a+b）.

评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法.

例3把a4+4b4因式分解.

解：a4+4b4=（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2=（a2+2b2）2-（2ab）2=（a2+2ab+2b2）（a2-2ab+2b2）.

评注：多项式a4+4b4中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式.但由于这两项再加上4a2b2就是（a2+2b2）2，所以先对a4+4b4加、减4a2b2，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解.上面的解法中，把a4+4b4变形为（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件.

从上面几道例题可以看出：第一，提公因式法和公式法在因式分解中具有重要的基础作用，它们是因式分解的最基本的方法；第二，因式分解时不都是简单运用基本方法就能解决问题的，有时需要灵活机动地使用基本方法，这就需要认真分析多项式的结构，必要时还需要先对多项式进行适当的式子变形.

4． 因式分解要进行到什么程度

对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解.例如，把a4-b4因式分解时，得到（a2+b2）（a2-b2），并未完全达到要求，还需要继续分解到（a2+b2）（a+b）（a-b）.

在解决计算、化简、解方程等问题的过程中，当因式分解作为中间步骤时，应根据具体问题来决定分解到什么程度合适.

例4已知a2+b2=1，a2-b2=0.5，计算a4-b4.

解：a4-b4=（a2+b2）（a2-b2）=1×0.5= 0.5.

评注：上面解法中，因式分解只是中间步骤，只要分解到（a2+b2）（a2-b2）问题就解决了，继续分解反而不利于解决问题.

我们知道，代数式中的字母是数的抽象表示.因此，因式分解是在某种数的范围中进行的.对于不同的数的范围，对同一多项式的因式分解，要进行到的程度也可能有所不同.

例5（1）在有理数范围内把a4-4因式分解；

（2）在实数范围内把a4-4因式分解.

解：（1）a4-4=（a2+2）（a2-2）；

（2）a4-4=（a2+2）（a2-2）=（a2+2）（a+）（a-）.

评注：初中数学教科书中，如无特别声明，通常约定因式分解是在有理数范围内进行的.

5. 因式分解有什么用

因式分解是多项式的分解变形.式子变形不是无意义的变来变去的数学游戏，而是解决数学问题的重要手段.在计算、化简、解方程等问题中，因式分解可以发挥重要作用.

例6计算-.

分析：这是两个分式相减，它们的分母不同，正如异分母分数相加减一样，这里也需要先通分.分数的通分中，可以先分解因数，再确定最简公分母，例如：

+=+=+=.

类似地，分式的通分中，可以先分解因式，再确定最简公分母.

解：-=-=-====.

例7解方程x2+6x+5=0.

分析：这是一个一元二次方程.它的一边等于0，如果能将它的另一边分解为两个一次式的乘积，则可知当这两个因式中任何一个等于0时，乘积都等于0，于是可以得出方程的解.

解：原方程可化为（x2+6x+9）-4=0，（x+3）2-22=0，分解因式，得到（x+5）（x+1）=0.所以x1=-5，x2=-1.

总之，因式分解是针对多项式的一种分解变形，它是解决许多数学问题的一种重要手段.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文