共边定理与平行线

张景中

前面两期我们介绍了共边定理.共边定理的内容是：若直线AB和PQ相交于点M，则有：=.那么，假如直线AB∥PQ，交点M不存在，那又当如何呢？这样想问题，叫做从反面着想.数学里的很多命题，如果从反面想一想，往往能开辟出新天地.

如图1，当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB.把这个性质与共边定理相结合，可以解决不少问题.

例1如图2，已知▱ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，求证：AO=CO.

证明：利用共边定理，===1.则AO=CO.

同样，我们还可以证明BO=DO，合在一起就证明了平行四边形对角线互相平分.

这么简短的证明过程，你看明白了没有？首先利用共边定理，将线段比转化为面积比，然后利用AB∥DC和AD∥BC，分别得出S△ABD=S△ABC和S△CBD=S△ABC.这样就证明出来了.

例2如图3，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F为BC边上异于B、C的任意一点.连接AF、DE，交于点G.求证：AG=FG.

证明：====1.则AG=FG.

例3如图4，在▱ABCD中，E、F分别为CD、AD的中点.连接BF、BE，分别交AC于点R、T.求证：R、T分别为AC的三等分点.

证明：由共边定理，===2，所以点T为AC的三等分点.

同理可证，点R为AC的三等分点.

例4如图5，梯形ABCD的对角线交于点O.过O作平行于梯形下底AB的直线，与两腰AD、BC交于M、N.求证：MO=NO.

证明：由共边定理，======1（因S△ABD=S△ABC）.所以MO=NO.

例5已知线段AB和平行于AB的直线CD，请仅用直尺作出AB的中点.

作法：如图6.

（1）作出线段AB和直线CD.

（2）在线段AB和直线CD外任取一点E，连接AE、BE，分别交直线CD于F、G两点.

（3）连接AG、BF，交于点H.

（4）连接EH，延长EH交AB于点I.则点I即为所求.

证明：由共边定理，==·=·=·=1.

最后一步用到了AB∥CD（从而S△BFG=S△AFG）.类似可证EH平分FG.这也是梯形中一个很有用的结论：延长梯形两腰所得的交点和梯形两条对角线的交点的连线，平分梯形的上底和下底！可能你觉得这个例子很简单，其实不然.1978年举行全国中学生数学竞赛时，数学大师华罗庚在北京主持命题小组的工作.著名数学家苏步青写信给华罗庚，建议出这个题目.但命题小组认为这个题目太难，改成“给出作好的图形，只要求证明”.可见此题难度不小.

此外，我们由这个题目的证明过程可以看出·=1，也即=.等式两边同加1，则有=.这是一个很重要的性质（以后学习相似三角形时会学到），它实际上表明：三角形若被一条平行于一边的直线所截，则另两边上被截得的线段对应成比例.这个性质在后面例7的证明中会被用到.

例6如图7，在▱ABCD中，EF∥AD且EF交AC于点G.求证：S△ABG=S△ADF .

证明：如图8，连接DG.由EF∥AD，得S△ADG=S△ADF.连接BD交AC于点O，则由共边定理知==1（根据例1的结论），所以S△ABG=S△ADG=S△ADF.

例7如图9，梯形ABCD的两腰BA、CD延长后交于点E，F是BC上异于B、C的任意一点.求证：[S四边形EAFD][2]=S△EAD·S△EBC .

证明：由BC∥AD，得S四边形EAFD=S△AED+S△AFD=S△AED+S△BAD=S△EBD，

∴ =·=·=1.

∴ [S四边形EAFD][2]=S△EAD·S△EBC .

例8如图10，BD∥CA，BA∥CE.求证：[S△ABC][2]=S△ABD·S△AEC .

证明：=·=·=1.

∴ [S△ABC][2]=S△ABD·S△AEC.

前面几个例题的解答过程都比较短.有时，我们会遇到一些较难的题目，不是简短的几行解答就能解决的.拿到一个数学题，不论用什么方法去解，其目的只有一个——将所给问题解决掉.从已知出发，不断进行推理，最后得出结果，此为“进”也.然而在很多问题的解答过程中，如果“当前的”问题太难，我们可以尝试解答一个与之类似但较为容易的问题，为了达到“进”的目的，先“退”下来.

通过这三期大量的例题，大家应该已经感受到了共边定理的威力.对于这样一个看似简单，但用途极广的解题工具，我们应该熟练地掌握.对于较复杂的题目，一开始可能无从下手，我们可以退一步想，正如数学大师华罗庚所说的那样：“善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”在这一过程中，我们的数学素养和解题能力就会提高了.

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