稳中有变 设问创新 计算加大 能力提升

2008年高考数学全国卷Ⅰ和卷Ⅱ均紧扣考试大纲，立足现行高中数学教材，注重对基础知识的考查,突出能力立意. 与2007年同类考卷相比，试题总体相对稳定，能区分出不同考生对基本概念掌握的层次或效果，强化应用意识，倡导理性思维，体现创新意识的考查．理科卷呈现出题目灵活、综合性、创新性增强等特点，对计算能力的要求提高，起点容易落脚难.文科卷总体保持2007年的标准还略显简单.文、理科试题都没有偏题、怪题，而且题目多是立意新颖，“把关点”多，在难度设置顺序上更显科学、合理，更加符合考生的思维方式，同时试题也具有很强的导向功能，对推动中学数学教学改革，具有重大的现实意义.

1 主要特征

1.1 重点知识重点考，保持稳定有创新

2008年高考数学全国卷Ⅰ、卷Ⅱ，与前两年相比，对数学的基本概念的理解要求更高了，解题思维量更大了．对支撑数学学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要的深度．试题涉及的知识点覆盖面广、难度分散，充分重视到难度适中，没有出现超出考试大纲的情况．

全国卷Ⅰ文、理科除了集合与简易逻辑、统计涉及的内容较少外，其他大部分知识点都有考查．其中，解析几何所占比重较大，从这一点来看，这份试题体现出重点知识重点考查的原则．试题涉及：

函数与导数内容的有5道选择题，1道解答题，共占37分；

数列内容的有1道选择题，1道解答题，共17分；

三角内容的有1道选择题，1道解答题，共15分；

平面向量内容的有1道选择题，共5分；

不等式内容的有一道选择题，共5分；

解析几何的有3道填空题、1道解答题，共占27分；

立体几何内容的有1道选择题、1道填空题、1道解答题，共22分；

排列组合和概率内容的有1道选择题，1道解答题，共17分；

复数内容的有1道选择题，共5分．

上面考查的内容及分值显示，全国卷Ⅰ中代数、立体几何、平面解析几何三部分所占分值比例为101∶22∶27．

与此相仿，今年的全国卷Ⅱ文、理科考查了高中数学内容百分之七十五的主干知识点.教材各章内容所占分值分别为集合与简易逻辑占5分、函数占10分、数列占12分、三角函数占15分、平面向量占5分、直线与圆的方程占10分、圆锥曲线占22分、立体几何占27分、排列组合概率占22分、导数占17分、复数占5分.从上面分值情况看，试卷仍然加强对圆锥曲线、立体几何、排列组合和概率的重点考查，而函数、数列、三角函数、直线与圆的方程、导数也保持相当比例.试卷突出知识主干的考查，解析几何所占比重仍较大.对于极限和统计试卷没有涉及，不等式在数列和导数的解答题中有所考查.同时基础知识还变换形式考查，例如第8题“若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值是多少”，此题的本质是求y=sinx-cosx的最大值.

另一方面，从具体的命题情况来看，今年全国卷Ⅰ和全国卷Ⅱ都是在去年的基础上保持了相对稳定的命题思路，是在2007年所考查的知识点的基础上进行了适当调整变形命制而成.以全国卷Ⅱ为例：

2007年在数列方面考查“2a璶=3-a璶-1两边同减2，可得数列{a璶-1}成等比数列，设b璶=a璶3-2a璶，去证明b璶

2007、2008年两年都考了利用自然对数的单调性进行大小比较.

2007、2008年连续两年三角函数题都考查了应用正弦定理解斜三角形.

2007、2008年两年都通过设置选择题考了求双曲线的离心率.

2007、2008年两年都考了与抛物线y²=4x的焦点和焦半径相关的问题.

2007、2008年两年都考了两个不同次方的因式的二项式展开式.

2007年的立体几何是棱锥，而2008年是棱柱，但都很容易建立空间直角坐标系来解决.

2007年考查球体内部正四棱柱中的有关线段与球的直径的关系，2008年考查球体中与两个互相垂直平面相截的圆心与半径的关系.

2007年的概率设问方式为已知“取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率是0.96”，求任取出1件产品是二等品的概率.2008年的概率设问方式为已知“保险公司在一年内至少支付赔尝10000元(有一人出险）的概率是1-0.999104”求一年内有一人出险的概率.其共同点是给出几个互斥事件的概率和来求其中某一事件的概率.

还有今年的全国卷Ⅱ第16题是根据平行四边形的充要条件来探索研究平行六面体的充要条件，这一题型在2003年的全国高考数学试卷中已经考过，例如把“平面勾股定理”拓广为“空间勾股定理”，研究三棱锥侧面互相垂直的侧面面积与底面面积的关系.

2008年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ既注意全面考查，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持了必要的深度．

1．函数作为高中代数最基本、最重要的内容，所占卷面总分的比值都较大幅度地超过了教学大纲中规定的相应课时比值．在全国卷Ⅰ文、理科试卷第1、2、6、8、9、19(文21)题中，从不同侧面进行了考查，特别是试卷强化了导数在函数中的工具作用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题占较重分值，全国卷Ⅱ也是如此．

2．2008年高考数学全国卷Ⅰ、卷Ⅱ中6道解答题考查的主体与去年完全一致，依然是以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、导数为主要载体，考查学生的综合数学思维能力．以全国卷Ⅰ为例：

在解答题中，文、理科第17题都是考查斜三角形问题，理科考生要求会熟练地运用正弦函数的图像与性质，并且要熟悉三角函数的恒等变形．第18题是空间直线位置关系的证明，二面角的计算仍采用“一题两法”的命题原则，用向量方法研究解决平行、垂直、夹角等问题更容易上手．圆锥曲线问题，还是沿袭向量知识融入解析几何中考查的高考命题指向，以双曲线为载体，构筑成知识网络型综合问题，运用知识之间的交叉、渗透和组合，是基础性与综合性的最佳表现形式．目标就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为大家熟悉的代数运算．文、理科导数试题是常见题型．文科的概率、理科的离散型随机变量的分布列与数学期望等问题，虽说是这部分内容的常见题型，但是阅读量大，对审题要求高，读不懂题，不理解题意，就无从下手，此题要比前两年难度大．

其次，今年有些试题看似一般，但实际上还是挺有新意的，比如说全国卷Ⅰ第10题是把直线和三角以及不等式串在一起的一道题.这种考法在以往的考试中不常见.如果考生沿“不等式”这条路去走，可以走通；如果用三角换元也可以做；把三角改写成圆的参数方程，也可以解决.这确实称得上是一道让人眼前为之一亮的题目.它对不同层次的考生提出了不同的要求，也符合新课标对中学数学教学的有关要求.

以上所述特征对于我们今后的高中数学教育教学应该具有很强的导向作用.

1.2 试题原型在教材，设问形式均变脸

2008年全国卷Ⅰ、卷Ⅱ中好多题目都能在课本上找到影子，是课本题的变形和转化，考生第一眼就看到非常熟悉的课本题，对于稳定考生情绪，鼓舞答卷士气具有强烈的推进作用．大部分题目可在教材中找到原型，如全国卷Ⅰ文科第3题、理科第5题，在教材向量章节的例题中可以找到原型；全国卷Ⅰ文理科第13题，在线性规划这一节当中，到处可见这种题型．像这样“有原型”的题目在今年的全国卷Ⅰ、卷Ⅱ中大约占到试题总量的三分之一左右．

1.3 选择填空送分少，上手容易得分难

选择题和填空题侧重考查数学的基本概念、基本知识和基本计算、基本的解题方法，与前两年高考试卷中的填空题相比，2008年的选择、填空题，“送分题”相对少了，整个试题基本上没有一道题一看就可以得出结果的，这也是对学生心理素质的一种考查，是学生感觉试题较难的原因之一．最典型的是前五道题相对于2007年前五道题来说难度都增加了，比如在全国卷Ⅰ中，有一些考生就会把第1题中的0解丢掉．还有函数图象的问题，以往都是放在偏后一点，这一次放在第2题的位置，所以使学生拿到试卷把握不住．而且它是一个与实际生活结合比较紧密的问题(是一道看图题，要求学生通过汽车的运动方式找出路程s与时间t的函数图像的关系），需要一定的思维量，这方面学生常常会感到比较困难．此外，理科试卷的第6题是一个反函数问题，过去我们对反函数的考查就是在图像和概念上做文章．这次既考了概念，同时，也考了指数与对数的互化．这些概念只要有一点疏忽，就会造成错解．理科的第4题是一道复数问题，在2007年的复数考题中，仅考了概念，今年把运算改成了乘法运算，同时还要判定实数a的符号，这也是一个难点．这就使得学生感到很容易上手，但得高分不易．第14题出的比较活，在“抛物线和平移两个知识点处”出题目，学生往往因为考虑不周全而丢分.试卷中的第11题、16题都是关于立体几何的问题，如果考生不能透彻分析问题的实质，只单纯的进行计算，可能容易算错，而且计算量很大．若能挖掘出来，第11题是一个平行六面体，各个面都是60°的菱形，截下一半以后，就很好解决．对于第16题，若清楚是一个正八面体，由上半部分各个侧面都是全等的正三角形，作正三角形相应的某一侧棱上的中线，问题很快解决．否则计算量就比较大，容易算错，这也是今年试卷的一大特点，几何内容的考查偏重立体几何，立体几何的题目难度大了一点．即使解答题也是如此，例如全国卷Ⅰ文、理科的第18题，第一问比较容易，仅考查三垂线定理，但第二问就考查空间想象能力，要求比较高；文科第21题、理科第19题，第(1）问仅考查函数的单调性，相对容易，但第(2）问就不那么简单了，不但考查学生的基本运算能力，还要考查考生的逆向思维能力，以及数形结合的数学思想方法等，要求比较高.

1.4 数学思想贯始终，解题方法多样性

数学思想和数学方法蕴含于数学基础知识的形成之中，它们与数学知识的形成同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习、理解和应用过程之中．因此，数学解题的过程，是个体的思维能力作用于数学活动的心理过程，考生解题的切入点不同，运用的数学思想方法也不同，这就体现出不同的思维水平．2008年高考试题全国卷Ⅰ、卷Ⅱ，注意研究题目信息的配置，考虑从不同角度运用不同的思想方法，创设多条解题路径，使不同思维层次的考生都有得以表现的机会，从而有效地区分出考生不同的数学能力．比如说分类与整合这个思想在全国卷Ⅰ中相对比较突出．很多题目都涉及到这个问题，如第1、9、12、19、20题，这些题目都涉及到分类与整合的数学思想．全国卷Ⅰ第19题是一道函数的求导问题，对文科生来说，要求跟理科生不一样．这道题第一要对判别式进行讨论，这一点有个别学生会感到不适应，但是它的第(2）问却不难．还有全国卷Ⅰ理科第9题，就需要把抽象函数变成具体函数或者进行数形转化，若平时没有强化这方面的训练，此类问题得分是不易的．还有全国卷Ⅰ理科第22题是数列与函数、不等式的综合，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想．今年的全国卷Ⅱ也是如此，理科的第5、8、11、22题涉及到数形结合思想，理科的第22题涉及到分类与整合思想，理科的第16涉及到类比方法，理科的第15、21题涉及到函数与方程思想，理科的第9、18、20题涉及到化归与转化思想，理科的第17题涉及到消元法，理科的第10、19题涉及到坐标法，理科的第22题还涉及到换元法.

另外在这里面，解题方法也呈现多样性，如全国卷Ⅰ中，文、理科第17题，既可以从正弦、余弦定理入手，也可以从三角形中的射影定理入手；文科第22题、理科第21题，既可以运用点到直线的距离公式，又可以通过求交点、求距离的方法解题，用角平分线定理求解更简捷.就位置来说，这是一道相对比较难的题目，可是这道题考查的是一条直线与两条直线相交，把数列揉进了线之中.如果从计算的角度理解这道题，完全是一道计算题，所以它的计算量非常大.但是如果我们仔细观察，该题又可以借助解析几何与平面几何的关系.找到其中线段AB和三角形AOB之间的线段和角的关系，我们可以借助平面三角形来解决问题.这样计算量将大大降低，不需要求焦点坐标了，这道题也就不难了.很多考生往往做完了回头看，才能发现这个特征.实际上在解题过程中，未必就能发现这个巧妙的地方.此题的第二问反而比较容易，这是一个常规性的问题，是要求学生必须会做的计算问题.从这道题的感觉来说，还是符合高考大纲要求的.就是要求考生无论采用什么样的做法，都应该能够把它做出来，也体现了一题多解的特征.

总的来说，从全国卷Ⅰ和卷Ⅱ来看，涉及数形结合、函数与方程等数学思想方法的题目很多.这样一来，灵活多变的题目就增多了，“陈题”、“旧题”相应也就变少了，考前有些好心老师给学生的种种猜题、押题的方法也就不那么“灵验”了.这就是说，实际上，更应注重的是进一步强化考生的数学基础知识、基本方法的掌握.

1.5 计算加大难度增，考点集中也是因

今年全国卷Ⅰ、卷Ⅱ的选择、填空题较2006、2007年运算量有所提高，这是考生们感觉试题较难的原因之一.此外，压轴题综合性较强，还对考生的运算能力、推理能力提出了更高的要求.

在文理两卷的22个题中选择题有5道不一样，填空题有2道不一样，解答题有5道不一样，这绝非偶然，而是命题人的匠心独具，体现了命题人尊重学生的主体思维差异，是人文教育在数学教育中的体现，为今后的数学教学起着高屋建瓴的导航作用．相对来说，2008年理科试卷难度要大一些，文科试卷还是比较适中．可以看到，在2008年的试卷中，选择题和填空题，尤其是选择题，文理的差距比较大．所以，理科考生会感到理科试卷相对比较难，但是文科试卷就没有特别的难，这也符合文理考生对各自的内容和层次要求不同，提高了试卷对文科考生的适应程度．由于今年试卷关于立体几何的试题都是考查有关角的问题，最后一道立体几何题考的是二面角．所以三道关于立体几何的问题都考到了角，考的知识点相对集中，难度就一定会增加．另外函数和不等式的难度增加也有类似的问题．

尽管试题普遍运算量比较大，但如果方法适当，并且合理运用数学公式，运算量就会大大减小.比如全国卷Ⅰ文、理科第17题，运用三角形中的射影定理就比较简单，运算量还很小；全国卷Ⅰ文科第22题、理科第21题，运用角平分线定理和圆锥曲线定义解答，运算量就很小了.

1.6 学科内部增联系，交汇知识考查密

2008年的全国卷Ⅰ、卷Ⅱ进一步强调了知识间的内在联系，注意从学科的整体高度出发，注重各部分知识的综合性、相互联系及在各自发展过程中各部分知识间的纵向联系，新增内容已成为支撑数学学科知识体系的重点知识，从而构成数学试题主题的重要知识板块，以新教材所添加的新内容构筑高考热点题型．以知识网络的交汇点设计的高考解答题，运用知识之间的交叉、渗透、迁移和组合，是基础性与综合性的最佳表现形式．在知识网络交汇点设计试题成为新高考一道靓丽的风景线，试题大都涉及到两个或两个以上的知识点.

以全国卷Ⅱ为例，如第20题既考查数列的转化变形知识，又在第(2）问中渗透不等式、指数函数的单调性问题.第21题综合了定比分点、椭圆方程、直线方程、一元二次方程、点到直线距离、两点间的距离公式、均值不等式等知识.第22题综合了三角函数的导数、分式的导数、解三角不等式求单调区间、三角函数式的化简、整体换元成二次函数、分类与整合数学思想等.部分题目(例如第8题）条件呈现新颖，第20题回避常规考法两边同减或同加常数，而是S璶+1=2S璶+3琻两边同减3琻+1，3琻+1是与n有关的变量.第22题在导数考查方面一改常态考三角函数的导数给学生以措手不及，因为平时训练主要是幂函数、指数函数、对数函数以及分式的复合求导.从这一点说明高考复习一定要全面，不留任何漏洞.根据以上分析，可以看出，数学各知识点间的纵横联系非常紧密，在知识网络交汇处设计试题有利于考生多角度、多渠道解决问题，为考生解题思维提供广阔的空间.

全国卷Ⅰ也是如此，例如理科第7题为解析几何与导数的交汇，第9题为函数与不等式、第10题为解析几何、三角与不等式，第19题是函数与导数综合，第20题是概率与统计的应用题，第21题是解析几何、数列和平面向量的综合题，第22题是函数、数列、不等式、导数的综合题，它们有着一定的理论或实际背景及文化内涵，沟通着高等数学与中学数学的联系.等等.文科第2题，既考查变量与变量之间的关系，又考查变量和图像之间的关系，像这样的题目还有很多，比如文科第4、10、14、15、21、22题等.

2 几点思考

以上通过对2008年高考试题全国卷Ⅰ、卷Ⅱ的对比分析和深入思考，笔者认为在新一届高三复习时应注意以下几个问题：

2.1 知识点要全面覆盖

按照我们大多地区的教学进度，高中数学教材所有新的内容在高一高二都已经全部结束了.所以高三一轮复习对所有知识应该全部都覆盖.尤其是今年的高考题，要求概念一定要深入理解.绝对不能只知其然而不知其所以然.

2.2 要重视教材的基础作用与导向作用

因为课本是考试内容的载体，是高考命题的直接依据．从近几年全国高考数学试题看，试题形式、考试热点、难点及方向年年有所变化，但有一点是不变的，即考试的目标是考核考生对基础知识、基本技能、基本思想和方法的掌握．纵观各年的高考数学试题，运用基础知识和基本方法求解的题目占60%以上，相当数量的考题就是教材基础知识的组合、加工和深化，这充分说明教材的基础作用、示范作用和权威性不容置疑．因此，在复习中一定不要脱离课本，应充分挖掘课本例、习题的潜能．要细心领会课本中的观点和方法，重视知识的发生、发展过程，特别是定理、公式的推导过程，例题的求解过程中的数学思想和数学方法，切实做好消化、转化和内化，最终达到变化．在掌握教材的基础上，把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成一个条理化、有序化和网络化的知识体系．将分散在例题、习题中的相关知识、数学思想方法等集中整理，从中探寻出解题经验和规律，并把它积累到自己的知识结构网络中，做到融会贯通，熟练运用．

2.3 注重新旧知识的结合

我们在复习中不要将落脚点放在这些知识的简单运用上，要进行深层次的挖掘．新教材与旧教材的结合内容，命题时都采用新旧结合，以新带旧或以新方法解决进行．例如在解决立体几何、解析几何问题时告诫学生不要忘了空间向量、平面向量，在解决函数问题和有关解析几何问题时不要忘了导数．还有概率与统计作为研究随机现象统计规律性的内容在优化问题中有着广泛的应用，是考查学生分析、解决实际问题能力的好素材，也值得关注．

作者简介 高慧明，男，1970年11月生，湖北孝感人，中学高级教师，首批“湖北省高中骨干教师”、首届“襄樊名师”、“湖北省新世纪高层次人才工程”专家、“全国教育科研优秀教师”、首届“全国十佳班主任”，全国多家知名专业期刊或学术研究机构编委、特约栏目主持、特约专栏作者、特聘全国高考命题与考试研究专家，曾分获湖北省、全国高中数学教师优质课大赛一、二等奖，长期致力于课程·教材·教法·学法、高考复习·命题与考试等专题研究.

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