不等式中等号成立条件的解题功能

王文清

大家都知道，基本不等式中的等号，当且仅当诸数都相等时成立.事实上，我们遇到的要证明的绝大多数不等式的条件与结论都是关于所含字母的轮换对称式，这就预示着这些字母在解题中的地位是相同的，因此，当他们取值相同时，等号可能成立.于是，可以先猜测并验证要证明的不等式中等号成立的条件，然后，结合已知，通过拆添项、配凑等手段构造一系列基本不等式，最后通过同向不等式的运算给出证明.下面举例说明.

利用对称思想解决例7，用时不会超过60秒，运算量小得都没有出错的机会．

综上所述，当题设条件和研究结论的形式都是关于题设全部元素对称的时候，就没有理由认为某个元素比其它的大或小，它们对结论的贡献是相同的，因而地位平等，谁也无特权，故诸元素均相等时，结论不等式中的等号成立(如，例1～例5）．

这种“一视同仁”地、“公正”地看待某些对象的“非充分理由”原理，用来监控对称问题的结论是很有效的，即条件和研究对象的形式是对称的，结论也应该符合对称要求，否则可判断结论或者不完整，或者根本就是错误的.对称思想告诉我们：“没有充分理由区别的，可能是不必区别的.”

当题设条件或研究结论至少有一个不具有对称性时，尽力把题设条件和研究结论同时化归为具有对称性，也是解决这类问题的一个策略(如例6、例7）.

庞卡莱指出“在解题中、在证明中，给我们美感的东西是什么呢?是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡．”对称给人以美的感受，对称美是数学中最普通的美.对称的条件能够导致对称的结论以及可能用对称变换的方法去求解.使分散的条件相对集中，以沟通已知和未知的关系，打通解题途径，起到事半功倍的效果.

利用诸元素相等时，结论不等式中的等号成立，是证明条件不等式的一种极为有效的策略和方法，是对称思想用于指导解题的具体体现.发现或制造对称，并利用对称性解题，是解题者对称思想成熟的标志！

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