学会观察——《余角和补角》导学

2008-07-11张茂

中学生数理化·七年级数学北师大版 2008年3期

张　茂

在我们认识图形世界的时候，就有角的出现，角有锐角、直角、钝角、平角等.我们学过的角已经不少了，在画线的时候，也往往会画出一些角，这些角之间又有什么关系呢？

[问题与情境]

初中的学习，要学会观察，学会思考，上面的问题其实就在我们的身边.

某学校组织学生在植树节这天在校园里种树．大伙儿分工合作，有的挖坑，有的放村苗，有的浇水，干得热火朝天．有几棵树苗由于填土太少，被浇得倾斜了（如图1所示），我心里很是同情，就过去扶直小树．在扶直小树的一刹那，我忽然想到了我们要学习的余角．哦！原来我们生活中就有丰富的数学知识.我继续向前走，一位同学正在挖坑，铁锹和地面形成了两个角（如图2所示），那不就是我们要学习的互补角的模型吗？我深情地望着眼前的情景，欣喜地想着要学习的内容，真是数学离不开生活，生活中到处都有数学．只要我们细心地观察，认真思考，一定还能发现很多生活中的数学问题.你能说出图1、图2中∠α与∠β的关系吗？

我们观察图1，斜向上的实线表示被雨水浇歪了的树苗，那么此时的树苗与地面就不垂直了，虚线表示栽种时垂直于地面的树苗，那么虚线与地面（水平线）垂直，即有∠α ＋ ∠β ＝ 90°.

我们再来观察图2，铁锹与地面所成的两个角都不是直角，但是，这两个角正好组成一个平角，即有∠α ＋ ∠β ＝ 180°.

如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称互余．也就是说，其中一个角是另一个角的余角，∠α的余角可表示为90°－∠α．

如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称互补．也就是说，其中一个角是另一个角的补角，∠α的补角可表示为 180°－∠α．

[开眼界]

欧氏几何是欧几里得几何学的简称，创始人是公元前3世纪古希腊伟大的数学家欧几里得.在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法证明一些几何命题.欧几里得这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成数学史上的光辉著作——《几何原本》，这本书的问世，标志着欧氏几何的建立，是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑.

欧几里得将过去许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，使几何学变成一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑.《几何原本》的意义不仅限于其内容的重要或者他对定理的出色证明，真正重要的是欧几里得在书中创造的一种公理化的方法.

在证明命题时，每一个命题总是从前一个命题推导出来，而这前一个命题又是从再前一个命题推导出来的.我们不能这样无限地推导下去，总有一些命题要作为起点.这些作为论证的起点、具有自明性且其自明性已被公认下来的命题称为公理，如“两点确定一条直线”等.同样，对于概念来讲也有不加定义的原始概念，如点、直线等.在一个数学理论系统中，尽可能少地采用原始概念和不加证明的公理，由此出发，利用纯逻辑推理，把该理论体系建立成一个演绎系统，这样的方法称为公理化方法，欧几里得就是采用这种方法，以公理、公设、定义为要素，一个接着一个地证明了大量的命题.其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止.零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到复杂结论的系统.在数学发展史上，欧几里得是成功地应用公理化方法的第一人.

用现代的标准来衡量，《几何原本》在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点.其公理系统还不完备，个别公理不是独立的，可以由其他公里推出，许多定理的证明又不得不借助于直观完成.1899年德国数学家希尔伯特公理体系的成功建立，使欧几里得几何学成为一个逻辑结构完善而严谨的几何体系.

[经典例析]

例1 如图3，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD．

（1）图中与∠DOE互余的角有哪些？

（2）图中与∠DOE互补的角有哪些？请说明理由．

图中与∠DOE的和为90°的角均是其余角，与这个角的位置没有关系；与∠DOE的和为180°的角均是其补角，也与这个角的位置没有关系.

解：（1）图3中与∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC.

① ∵ ∠FOD ＝ 90°，∠FOD ＝ ∠DOE ＋ ∠EOF，

∴ ∠DOE ＋ ∠EOF ＝ 90°．

∴ ∠EOF是∠DOE的余角．

② ∵ ∠AOE ＋ ∠BOE ＝ 180°， ∠AOE ＝ 90°，

∴ ∠BOE ＝ 90°．

又 ∠BOE ＝ ∠DOE ＋ ∠BOD，

∴ ∠DOE ＋ ∠BOD ＝ 90°．

∴ ∠BOE是∠DOE的余角．

③ ∵ OB平分∠COD，

∴ ∠BOC ＝ ∠BOD．

又 ∠BOD ＋ ∠DOE ＝ 90°，

∴ ∠BOC ＋ ∠DOE＝ 90°．

∴ ∠BOC是∠DOE的余角．

（2）图3中与∠DOE互补的角有∠BOF、∠COE.

① ∵ ∠AOE ＝ ∠DOF，

∴ ∠AOF ＋ ∠EOF ＝ ∠DOE ＋ ∠EOF．

∴ ∠AOF ＝ ∠DOE．

∵ ∠AOF ＋ ∠BOF ＝ 180°，

∴ ∠DOE ＋ ∠BOF ＝ 180°．

∴ ∠DOE与∠BOF互为补角．

② ∵ ∠BOC ＋ ∠DOE ＝ ∠EOF ＋ ∠DOE ＝ 90°，

∴ ∠BOC ＝ ∠EOF．

∴ ∠BOC ＋ ∠BOE ＝ ∠EOF ＋ ∠BOE．

∴ ∠COE ＝ ∠BOF．

∵ ∠DOE ＋ ∠BOF ＝ 180°，

∴ ∠DOE ＋ ∠COE ＝ 180°．

∴ ∠DOE与∠COE互为补角．

解这类题目，一定要理解余角、补角的定义，互余角、互补角的找法是看这两个角的和是否为90°或180°，与这两个角的位置无关.

例2 一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角的余角及这个角的补角的度数.

一般采用代数的方法.因为这个角的余角与补角都与这个角有关，所以，可设间接未知数，再找出题中的等量关系，列出一元一次方程，从而求解.

解：设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为90 °－ x，这个角的补角的度数为180 °－ x. 依题意得

90° － x ＝（180 °－ x）－ 10°．

解得x ＝ 60°

故90° － x ＝ 30°，180° － x ＝ 120°．

答：这个角的余角为30°，这个角的补角为120°.

解这类题时，因为不知道这个角的度数，所以难以直接求出它的余角或补角．因此解题的关键是求出这个角的度数，所以设这个角的度数为x，再根据题意找到相等关系，从而求解.

例3 如图4 ，三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，则图中小于平角的角中，有[ ]对对顶角，分别是[ ]．

根据对顶角的概念，可推知：两条直线相交有2对对顶角，三条直线相交，共有6对对顶角．由AB与CD相交成的对顶角有∠AOC与∠BOD、∠COB与∠DOA；由AB与EF相交成的对顶角有∠EOB与∠FOA、∠AOE与∠BOF；由CD与EF相交成的对顶角有∠COE与∠DOF、∠EOD与∠FOC．共6对.

答案：6 ∠AOC与∠BOD、∠COB与∠DOA、∠EOB与∠FOA、∠AOE与∠BOF、∠COE与∠DOF、∠EOD与∠FOC

解这类题的关键是要防止遗漏或重复，为此，我们可以先看有几对两两相交的直线，然后利用每两条相交直线形成2对对顶角这一结论去计数.其实对顶角的找法不止一种，也可以先以一个角为标准进行计数（∠AOC、∠COE、∠EOB的对顶角），再找出由两个角合并成一个角的角（∠AOE、∠COB、∠EOD的对顶角），再进行计数.还可以以一条边为起点，向一个方向旋转着去找角.

[即学即练]

1．如果一个角是36°，那么（）．

A．它的余角是64° B．它的补角是64°

C．它的余角是144° D．它的补角是144°

2．过一个钝角的顶点作这个角的两边垂线，若这两条垂线的夹角为40°，则此钝角为（）．

A． 140° B． 160°

C． 120° D． 110°

3．钟表上12时15分时，时针与分针的夹角为（）．

A． 90° B． 82．5°

C． 67．5° D． 60°

4．如图5，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1 ＝ 15°30′，则下列结论中不正确的是（）．

A．∠2 ＝ 45°