平行线的特征

颜丙全

在明确两条直线平行的条件之后，我们再来学习与探索平行线的特征．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力；经历探索平行线特征的过程，掌握平行线的特征，并能解决一些问题．平行线的特征是平面几何的基础内容，也是中考重要考查的内容之一．

[问题与情境]

1． 如图1，我市的白浪河上有两座互相平行的桥：新华桥AD和东风桥BC．河的两岸是两条平行的公路．某测量员在A处测得∠BAD＝60°，如果你不再测量，能否猜出∠ABC、∠ADC、∠DCB的度数？

由两条直线平行，同旁内角互补，不难求出∠ABC、∠ADC、∠DCB的度数．

2． 如图2，在A、B两地之间修建一条直线形的铁路隧道，在山体一侧的A地测得公路的走向是北偏东60°，即∠α ＝ 60°． B点是隧道的另一端． 现要求在A、B两地同时施工，那么在B地公路走向应按∠β等于多少度施工？

我们知道，任何两点的正北方向线都是平行的，即AC∥BD，又∠α和∠β是同旁内角，所以∠β ＝ 180° － 60° ＝ 120°．

[开眼界]

在生活中，我们可以找到很多应用平行线特征的实例，如火车的轨道、百米跑道和双杠，球拍中的纵横拉线，黑板、书桌以及书本边缘，还有练习簿的横线、表格线等都是平行的，潜望镜也是应用了平行线的特征．

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

平行于同一条直线的两条直线平行．两条平行线之间的距离处处相等．两条平行线之间的平行线段相等． 如图3，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

运用平行线的性质解决实际问题时，一定要找准它们所构成的内错角，如图4中，若AD∥BC，则有∠ADB ＝∠DBC，而非∠BDC ＝∠ABD．

[经典例析]

例1 如图5，已知AB∥CD，BC∥DE，∠B与∠D相等吗？说说你的理由．

观察图形，此题有两组平行线，可分别利用平行线的特征构造过渡角．本题由两组平行线不难得出：∠B ＝∠C，∠D ＝∠C，其中∠C是过渡角．

解：∠B ＝∠D． 理由如下．

∵ AB∥CD ，（已知）

∴ ∠B ＝∠C． （两直线平行，内错角相等）

∵ BC∥DE，（已知）

∴ ∠D ＝∠C． （两直线平行，内错角相等）

∴ ∠B ＝∠D ． （等量代换）

在一个图形中有两组以上的平行线，先根据每一组平行线探索其中的结论，然后再找出所得结论之间存在的关系．

例2 如图6，已知∠1 ＝ 50°，∠2 ＝ 130°，∠3 ＝ 65°，求∠4的度数．

对于这道题，由题设条件可猜测l1∥l2．如果l1∥l2，可知∠3 ＝ ∠6，而∠6 ＝ ∠4，可求出∠4的度数．因此，先判断l1∥l2，推出l1∥l2以后，再求∠4的度数．

解：∵ ∠1 ＝ 50°，（已知）

∴ ∠5 ＝ 180° － ∠1 ＝ 130°．（邻补角的定义）

∵ ∠2 ＝ 130°，（已知）

∴ ∠5 ＝ ∠2．（等量代换）

∴ l1∥l2．（内错角相等，两直线平行）

∴ ∠6 ＝ ∠3 ＝ 65°．（两直线平行，同位角相等）

∴ ∠4 ＝ ∠6 ＝ 65°．（对顶角相等）

解题要首先确定大的思考框架，然后分步解答．寻求解题的切入点，往往从观察图形直接猜测入手．

例3 如图7，已知AB∥DE，∠ABC ＝ 80°，∠CDE ＝ 130°，求∠BCD的度数．

观察已知图形，AB∥DE，但图形中没有同位角、内错角与同旁内角，所以不能直接利用∠ABC、∠CDE和∠BCD间的关系解题．为了探究它们的关系，需要适当地添加辅助线，构造基本图形．

解：过点C作CF∥AB，可得∠ABC ＝∠BCF＝ 80°． （两直线平行，内错角相等）

∵ AB ∥DE，（已知）

∴ CF ∥DE．（平行于同一直线的两直线平行）

∴ ∠CDE ＋ ∠DCF ＝ 180°．（两直线平行，同旁内角互补）

∴ ∠DCF ＝ 180° － 130° ＝ 50°． （等式的性质）

∴ ∠BCD ＝ ∠BCF － ∠DCF＝ 80° － 50° ＝ 30°．

当已知的图形中没有同位角、内错角或同旁内角时，可以通过作辅助线构造基本图形，利用平行线的特征解题．

[即学即练]

1． 一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（）．

A． 先右转100°，再左转80°．

B． 先左转100°，再右转100°．

C． 先左转100°，再左转80°．

D． 先右转100°，再右转100°．

2． 如图8，若l1∥l2，不能得到下列结论中的（）．

A．∠1 ＝ ∠3 B．∠2 ＝ ∠3

C．∠4 ＝ ∠5 D．∠2 ＋ ∠4 ＝ 180°

3． 如图9， AB∥EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）．

A． 6个 B． 5个 C． 4个 D． 3个

4． 已知：如图10，OP平分∠AOB，MN∥OB．

求证：∠1 ＝ ∠3．

证明：∵ OP平分∠AOB，

∴．

又MN∥OB，

∴．

∴ ∠1＝∠3．

小红思考：污损部分应分别是以下4项中的两项：①∠1 ＝ ∠2；②∠2 ＝ ∠3；③∠3 ＝ ∠4；④∠1 ＝ ∠4． 那么她补出来的结果应是（）．

A．①④ B．②③

C．①② D．③④

5． 如图11，若AB∥CD，∠1 ＝ 50°，则∠2 ＝[ ]．

6． 如图12，AB∥CD，∠D ＝ 80°，∠CAD ∶ ∠BAC ＝ 3∶2，则∠CAD ＝ [ ]，∠ACD ＝ [ ]．

7． 如图13，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED ＝ 86°，求∠EDC的度数．

8． 如图14，AB∥DC，BC∥AD，∠CBF与∠CDE有什么关系？为什么？

9． 如图15，已知AB∥CD，试添加一个条件，使∠1 ＝∠2成立．（至少给出两个答案，并选择其中一个加以证明）

10． 如图16，已知AB∥CD，分别探索三个图形中∠P与∠A 、∠C的关系，请你从所得的三个关系中任选一个加以说明．

[中考风向标]

1． （2007年·南宁市）如图17，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1 ＝ 60°，则∠2 ＝ [ ]．

求角的度数，我们可以通过求它的对顶角来得到，在两直线平行的条件下，又可利用平行线的特征，通过找它的同位角、内错角、同旁内角，再间接地求出这个角的度数．本题中，根据“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”，可以得到∠1的对顶角是∠2的同位角，从而得∠2 ＝ 60°．

2． （2007年·襄樊市）如图18，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1 ＝ 50°，则∠2等于（）．

A． 50° B． 60°

C． 65° D． 70°

利用方程可解代数问题，几何问题有时也可用方程求解．方程思想是一种重要的数学思想，对于本题，∠1的度数已知，如果能找到∠1和∠2或∠2的某倍数角的度数和，解简单的方程可求得∠2的度数．答案是C．

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