探索直线平行的条件

何春华

同学们，你们对平行线一定不陌生吧！因为在现实生活中随处可见它的身影：火车的车轨、棋盘上的横线与竖线、学校操场上的双杠等． 这些都可以看做平行线． 生活中我们还需要思考这些问题：城市主干道上的分道线互相平行，怎样才能够画出来呢？棋盘上横线间及竖线间要互相平行，我们怎样才能知道它制作得是否合格呢？带着这些问题我们来看下面的具体实例．

[问题与情境]

星期天，乐乐和明明来到郊外的一条河边，他们想测量一下他们所处位置的河岸是否平行． 他们各拿来了一个测角仪和两根标杆.请问：就现有的条件，乐乐和明明能否判断河岸是否平行？说说你的方案．

聪明的乐乐想出一个好办法．他是这样做的：通过目测使4个标杆在一条直线上（如图1），4根标杆分别立在A、B、C、D所在的位置． 再用测角仪分别测出∠ABE和∠DCM的大小.若∠ABE ＋ ∠DCM ＝ 180°，则EF∥MN；若∠ABE ＋ ∠DCM ≠ 180°，则EF、MN 不平行.

这里其实用到了直线平行的条件：由∠ABE ＋ ∠DCM ＝ 180°，可得∠EBC ＋ ∠MCB ＝ 180°，从而由“同旁内角互补，两直线平行”判断出河的两岸互相平行.

[开眼界]

1． 同位角、内错角、同旁内角的概念

（1） 同位角：在两条直线a、b的同方向，在第三条直线c的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角．如图2中，同位角有∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8．

（2）内错角：在两条直线a、b的内侧，在第三条直线c的两旁，这样的一对角叫做内错角． 如图2中，∠3和∠5、∠4和∠6都是内错角.

（3）同旁内角：在两条直线a、b的内侧，在第三条直线c的同旁，这样的一对角叫做同旁内角． 如图2中，∠4和∠5、∠3和∠6都是同旁内角.

温馨提示： 对于较复杂的图形，一般可采用如下方法区分角的关系．①把相关的一对角的边用其他色笔或粗线条描出，这有助于分辨这对角的关系． ②在图形中构成同位角的基本图形形如字母“F”，如图3（1）；构成内错角的基本图形形如字母“Z”或“N”，如图3（2）；构成同旁内角的基本图形形如字母“U”，或叫“开口形”，如图3（3）.

2． 直线平行的三个基本条件

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即“同位角相等，两直线平行”． 如图4，若∠1 ＝ ∠5（或∠2 ＝ ∠6或∠3 ＝ ∠7或∠4 ＝ ∠8），则a∥b.

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即“内错角相等，两直线平行”．如图4，若∠2 ＝ ∠8（或∠3 ＝ ∠5），则a∥b.

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即“同旁内角互补，两直线平行”． 如图4，若∠2 ＋ ∠5 ＝ 180°（或∠3 ＋ ∠8 ＝ 180°），则a ∥ b.

3． 直线平行的其他条件

（1）平行于同一条直线的两条直线平行．

（2）垂直于同一条直线的两条直线平行．如图5，a⊥c，b⊥c，则a∥b．

[经典例析]

例1如图6，已知直线l1、l2被直线l3所截，若∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，试说明l1∥l2.

点拨：不妨从同位角、内错角、同旁内角三个不同的角度出发进行探索.

解法（1）： ∵ ∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，（已知）

∠4 ＋ ∠5 ＝ 180°，（平角定义）

∴ ∠1 ＝ ∠5，（等量代换）

∴ l1∥ l2．（同位角相等，两直线平行）

解法（2）： ∵ ∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，（已知）

∠1 ＋ ∠2 ＝ 180°，（平角定义）

∴ ∠2 ＝ ∠4．（等角的补角相等）

∴ l1∥l2．（内错角相等，两直线平行）

解法（3）： ∵ ∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，（已知）

∠1 ＝ ∠3，（对顶角相等）

∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝ 180°．（等量代换）

∴ l1 ∥ l2．（同旁内角互补，两直线平行）

本例通过从不同的角度证明同位角相等、内错角相等及同旁内角互补来说明两条直线平行，方法灵活，对我们开阔思路、提高解题能力大有裨益.

例2 如图7，已知∠BED ＝ ∠B ＋ ∠D，试说明AB与CD的位置关系.

点拨：由已知条件无法判断AB与CD的位置关系，需构造应用平行线判定方法的条件． 因此，过E作∠BEF ＝ ∠B，则AB∥EF．由已知可得∠FED＝∠D，则CD∥EF．由平行公理可得AB∥CD．

解：AB∥CD．理由如下：

过E作∠BEF ＝ ∠B，则AB∥EF．（内错角相等，两直线平行）

∵ ∠BED ＝ ∠BEF ＋ ∠FED ＝ ∠B ＋ ∠D，

∴ ∠FED ＝ ∠D．

∴ CD∥EF． （内错角相等，两直线平行）

∴ AB∥CD．（平行于同一条直线的两直线平行）

当题目现有的条件不能解决问题时，可考虑作辅助线，辅助线常用虚线表示．

[即学即练]

1． 如图8，∠1和[ ]是同位角，∠1和[ ]是内错角，∠1和[ ]是同旁内角.

2． 如图9，如果∠1＝[ ]，那么DE∥AC；如果∠1＝[ ]，那么EF∥BC；如果∠FED ＋ [ ] ＝ 180°，那么AC∥ED；如果∠2＋[ ]＝180°，那么AB∥DF.

3． 如图10，由[ ]（填上一个合适的条件），可得BC∥DE.

4． 如图11，A、B两地之间有一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A地测得∠MAB ＝ 75°．如果A、B两地同时开工，那么B地按∠NBA的度数为[ ]施工可使铁路在山腹中准确接通.

5． 如图12，下列推断错误的是（）．

A． 因为∠1 ＝ ∠2，所以 l3∥l4B． 因为∠3 ＝ ∠4，所以l3∥l4

C． 因为∠1 ＝ ∠3，所以l3∥l4D． 因为∠2 ＝ ∠3，所以l1∥l2

6． 如图13，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过． 如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（）．

A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°

7． 如图14，在屋架上要加一根横梁DE，若∠ABC ＝ 35°，那么∠ADE应该为多少度才能使DE∥BC？为什么？

8． 如图15，已知∠1 ＝ 40°，∠2 ＝ 55°，∠3 ＝ 85°，那么直线l1与l2是否平行？为什么？

9． 如图16，已知∠ABC ＝ ∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，那么EC与DF有什么位置关系？试说明你的理由.

10．如图17，已知CB⊥AB，点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠EDC ＋ ∠DCE ＝ 90°． 试说明：DA⊥AB.

[中考风向标]

1． （2006年·天门市）如图18，直线a、b被直线c所截，现给出下列4个条件：①∠1 ＝ ∠5；②∠1 ＝ ∠7；③∠2 ＋∠3 ＝ 180°；④∠4 ＝ ∠7．其中能说明a∥b的条件为（）．

A． ①② B． ②

C． ①④ D． ①②④

因为∠1与∠5是同位角，故有∠1＝∠5时a∥b，①符合条件；因为∠1＝∠7，又∠7＝∠5，所以∠1＝∠5，所以a∥b，②符合条件；条件③中，∠2与∠3是邻补角，不能判定两直线平行；条件④中，因为∠5 ＝ ∠7，只有当∠4 ＋∠5 ＝ ∠4 ＋ ∠7 ＝ 180°时，才能判定两条直线平行，所以④不符合条件． 故选A.

2． （2007年·淮安市）如图19，能判定EB∥AC的条件是（）．

A．∠C ＝ ∠ABE B．∠A ＝ ∠EBD

C．∠C ＝ ∠ABC D．∠A ＝ ∠ABE

选D，利用内错角相等，两直线平行.

本节内容在中考中主要以考查基础知识为主． 主要考查利用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线平行，以填空题和选择题的形式为主．

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