从历史发生原理看高中概率课程与教学

苏　醒　张维忠

19世纪，德国生物学家海克尔（E. Haeckel，1843—1919）提出了著名的生物发生定律——“个体发育史重蹈种族发展史”.这一理论的提出不仅开创了生物学界的新纪元，同时也引发了其他领域的巨大变革，尤其是在教育界，一个将发生定律运用于教育中得到的新生代理论——“历史发生原理”，即“个体知识的发生遵循人类知识发生的过程”的原理也因此孕育而生.就数学教育而言，又可以理解为“个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序，学生在认知上会重蹈历史的覆辙”这样一个基本原理.这一原理提出至今也经历了近三四十年，相当多的教育学者对此原理持肯定态度，并精心设计了一系列实验研究以验证该原理的客观存在，直至今日，该原理已经受到越来越多人的支持与认可，大多数教育专家和一线数学教师都肯定了数学历史对于当今数学教育具有不可或缺的作用，然而如何将这一理论运用到具体数学教学实践，如何在数学课程与教学中有机地融入数学史等仍需要进一步研究.

1 高中概率课程与教学现状

高中阶段实施新课程改革后，概率课程的部分也发生了相应的变化：一是教学内容进行了适当的删补，删去了原有的复杂的计算，将计数原理独立成章，同时又增加了几种新的概率模型与分布；二是教学顺序上也进行了一定的调整，调整后的概率课程被分成了两部分，相应出现在必修3和选修2-3中.

必修3部分的内容主要是基于研究随机现象的规律，并进一步为统计学发展提供理论基础，其要求学生在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异.学生结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率，而在选修部分，选修1-2只涉及了一些统计案例，而没有进一步的概率学习，而在选修2-3中则是要求学生进一步学习某些离散型随机分布列及其均值、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识.

可以看到，在高中数学新课程改革实施后，其对概率部分的学习要求有了很大的调整，由原来的偏重于对古典概型、排列组合问题进行复杂的计算求解转向为更加重视学生的分析和认知能力，倡导学生利用所学知识解决实际问题，因此在教学的过程中，教师更要注重对实际案例的创设，让学生从模型中掌握知识并学习其蕴涵的数学思想方法.

2 概率论知识的历史演进

对于概率论这部分知识进行历史分析时，我们首先按时间发展顺序对其进行客观的史实梳理，其次再从历史发生原理角度进一步审视其思想文化内涵.

2.1 概率论发展简史

概率论是数学这个历史悠久的大家族中一名不算年轻的成员.它的起源甚至可以追溯到公元前的古希腊，那个时候古希腊人就已经从航海实践中发现了许多概率经验规律，而古犹太人也在纪元之初就有概率加法定律和乘法定律的应用记录.但是这些思想比较零星，而且对天神的敬畏使得人们将随机现象归结为是世俗无法预测的，然而真正刺激人们思考概率，进而孕育了概率论的却是庸俗的骰子赌博游戏.人们对赌博中的一些问题着手进行研究，如比较掷两枚骰子出现总点数为9或10的可能性大小等等.甚至在但丁的《神曲》的第六节中也提到了一个三骰子的游戏，很多人把这个阶段称为概率论的史前阶段.

17世纪中叶，法国的一名赌徒德·梅赫在巴黎找到著名数学家和哲学家帕斯卡讨教“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢S局就算赢了，现在一个人赢A局（A

荷兰数学家惠更斯被称为概率论学科的创始人，他所完成的《论赌博中的计算》一书，被视为概率论的最早论著.在书中他提及了包括“点数问题”在内的14个命题深受同时代数学家们的欢迎.然而使得概率论真正成为数学的一个独立分支的则是瑞士数学家雅各布·伯努利.他的最重要的贡献在于建立了概率论中第一个极限定理，即在他的《猜度术》中提出的伯努利大数定律，揭示了“频率稳定于概率”的深刻道理，从而促使概率论的发展向前大大迈进了一步，因此也有人提议概率论的真正历史应从伯努利创立大数定律时刻算起.

而后，一些著名的数学家也投身到概率论的研究中，对其做了一定的奠基性工作.法国数学家棣莫弗最早引入正态分布，而法国数学家布丰则设计了著名的投针实验，开创了几何概率的新纪元，而真正开启了现代概率之先河的则是法国数学家拉普拉斯，在其1812年出版的《概率的分析理论》一书中，他总结了前人以及自己40多年的研究成果，首次明确了概率的古典定义，系统叙述了概率论的基本定理，将无穷小方法系统而协调地运用到了概率论.也正是从此开始，概率论从理论概率开始迈进了应用概率.

2.2 概率论发展史的教育启示

从认知模式的角度再次剖析概率论的发展史，我们可以看到其问题解决的思维线索按照直觉思维→抽象思维→归纳思维→演绎思维这样的模式推进，从最初的对游戏问题的猜想演变为建立适当的数学模型的抽象处理，在对类似不同问题的抽象分析的基础上归纳总结建立了概率论，进而又不断进行深入研究分析演绎形成了现代概率的各个有机分支.从其创造的历程也可以看成是一个从观察直觉到猜想验证，进而到有效组合，最后到多元分析的逻辑过程.

而从知识结构的角度出发，可以从概率论的发展史中提炼出知识概念、思想方法、发现工具这三个层次的数学结构.概率论的知识概念主要包括概率的四大定义（统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义）、概率模型的分类与含义等；而思想方法包括了随机思想与确定性思想，以及分类与归纳思想.发现工具主要是指采用实验的方法来创设情境进行分析和根据分类选择适当的模型进行问题处理.

从一般教育的角度出发，概率论发展史中蕴含的德育价值更是无穷无尽，帕斯卡的探索精神，费马的不吝交流，布丰的孜孜不懈都是绝好的教育素材.

3 高中概率课程的教学设计

用历史发生原理来指导现实的数学教学时，我们不妨将其划分为纵向与横向这两个维度展开，纵向角度即为教学的逻辑顺序的处理上应该尽量遵循历史发生的维度，以便能够更加适合学生的认知心理；而横向角度是从单个知识点的角度考虑，学生在某些知识点的理解上会产生和前人同样的认识，甚至于也可能会重复前人的谬误，因此在一些知识上呈现历史各种不同的观点，让学生自行取舍与分析，能够起到更加深化理解的作用.

对于高中概率知识的部分，我们之前已经分析过在数学新课程改革后它们在教材中的呈现，即分为必修与选修两部分，由于这两部分其学习的目的、对象都不尽相同，因此我们在设计时也考虑分成两部分处理，分别进行相应的教学设计.

3.1 必修部分的教学设计

高中数学课程的必修部分是普适性的教育，其原则是满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备.因此，教学过程中也需以“基本、准备”为准绳而无需涉及过多生涩艰深的理论概念.

通过对必修部分知识及概率论发展史的梳理，我们可以依照“让学生从实验中产生对概率的直观感觉→形成概率的统计意义→抽象为理想的古典模型→理解概率的古典意义→加工布丰的投针实验→引入概率的几何意义”这样纵向维度用六个环节来安排整体课程，同时将一些数学概念穿插进每个环节，在实例中形成抽象概念.

在第一个环节主要进行两方面的工作，即让学生动手掷币实验，以及呈现数学家掷币的相关史实与数据，渗透概率与频率的思想；在第二个环节则主要通过更多的统计事实让学生构建概率的统计定义，并阐明各种事件的含义；第三个环节可以用“点数问题”引入，让学生了解概率发展史，进而引出古典概型，让学生理解概率的古典定义；第四个环节通过一些历史名题，诸如扑克游戏，生日问题等让学生学习概率的计算；第五个环节则可以通过加工过的

布丰投针实验（如将针改成环，或者就用投豆子求圆周率的例题）引出几何概型，让学生理解概率的几何定义；在第六个环节则同样挑选一些实例或者名题，诸如碰面问题、贝特朗悖论问题加深学生对几何概型的理解，并掌握一定的计算方法.除了这六环节外，教师也可以增设一个应用计算机模拟求解的环节，进一步整合信息资源.

3.2 选修部分的教学设计

选修系列2主要是为以后希望在理工、经济等方面发展的学生设置的，因此在这部分教学过程中可以相对较多地融入概念理论与数学思想方法.

对选修2-3中概率部分的内容进行分析可以看出，其主要涉及了一些分布问题及离散型随机变量的特征问题，是必修内容的深化，这部分知识并没有体现出过多的时间先后的特征，不过其从认识模式上来分析，依旧可以采用“直观到抽象”这一概率发展史经验，因此在设计的时候可以将其分为六个环节，分别是：理解离散型变量含义，掌握其分布列→掌握离散型变量均值及方差的求解→通过实例，对比介绍超几何分布与二项分布→运用已学分布解决一些实际问题→介绍正态分布→探讨正态分布的性质.

可以将一、二两个环节进行整合，再次引用历史上的“点数问题”，这次要求学生进行结果判断，教师在总结学生判断的基础上给出离散型的定义、分布列以及均值的求解方法，进而再通过实例解决方差求解的问题；在第三、四环节中可以采用对彩票问题不断增加条件来对比两种分布的区别，穿插介绍条件概率和两事件独立的概念；最后两环节是关于正态分布的，可以通过棣莫弗和高斯分布的史实引出，也可以通过用计算机描绘生活中的大量现象的概率分布图得到，在探讨其性质时也可以采用计算机模拟实验的方法让学生自行探索.

参考文献

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