浅议高中数学概念学习中的四种“概念”

概念是反映客观事物特有属性的思维形式,是思维的最基本的单位.而数学概念是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是数学学科系统的精髓和灵魂,也是对数学研究对象的高度抽象和概括,它反映了数学对象的本质属性.笔者通过研究发现,学生在形成正确概念的过程中,可能会形成三种中间概念,即前概念、替代概念及错误概念,下文将就此进行相关阐述.

1 四种概念含义的界定及其相互关系

在高中数学教学中,前概念、替代概念、错误概念以及正确概念（或称为标准概念）这四种概念的含义均不相同,具有自身“鲜明”的特征.它们含义的界定如下所述.

教育科学研究表明,学生在学习某一数学知识之前,头脑里并非一片空白,尤其是高中学生,他们通过初中数学学科的学习,对部分数学知识的理解和解释,往往有一套自己的观点和想法.这些观点和想法许多时候与正确的概念、科学的思维并无冲突,但有时候与科学的概念或思维方式相去甚远,甚至大相径庭,因而称之为“前概念”.

如果学生在新的学习活动中未能很好地利用自身已有的知识和经验,特别是,如果教师也未能帮助学生较好地去实现对概念的形式定义与其原先具有的直观形象和经验的必要整合,那么形式定义的学习在最初往往就只是学生原有的心理表征中加入了一个新的成分,从而形成标准概念的替代物——替代概念.

若学习者对所学习的概念的本质和含义没有充分理解或理解出现差错,从而导致对概念的表征发生了偏离,影响了学习的效果,这样产生的概念往往是错误概念;而学习者通过对已有的知识系统与新信息之间的成功整合,掌握了概念的本质与含义,从而使新概念纳入了原有的知识系统中去,使两者浑然一体,从而就形成了正确概念.

这四个概念的相互关系如图1所示:

2 概念的产生、发展及其相互关系释注

由于错误概念与正确概念的意义众所周知,其产生、发展过程与主体已有的知识系统以及对新信息的处理能力等方面皆有关联,并且所涉及的心理学知识和数学知识往往较为复杂,已远超出笔者的认知范围,故笔者下文主要对另外两种概念的产生、发展过程进行阐述,并对四者的相互关系作初步的描述.

2.1 “前概念”的产生及发展

由图可知,前概念可以向替代概念、错误概念及正确概念转化.在数学学习中,这种前概念作为一种“资源”,既可以成为错误概念产生的“温床”,也可以成为正确的数学概念形成的“胚胎”.而从一定意义上说,数学教育的过程旨在最大限度地、卓有成效地将学生头脑中的前概念转变为科学概念.这种概念转变是新旧经验或数学知识相互作用的集中体现,是新经验或新数学知识对已有经验或数学知识的改造,它是通过学习者的交流、观察、操作、思考及应用,进而引发解决认知冲突的过程.进一步地讲,它是主体进行积极主动地认知建构的过程.

初中学生在进入高中学习之前,已经学习过了函数概念.但初中时的函数概念是建立在连续变量的基础上的,还停留在十八世纪人们的认识程度上.函数这一概念体现了数学高度抽象化、逻辑化、形式化的特点,学生由初中的函数概念要转换成高中由映射角度出发的函数概念有着相当的困难.其实,在数学史上有许多“火热的思考”,正是经过这些思考,将数学打造成一门逻辑性极强,高度抽象的学科.正是这些思考将数学的本质完完整整地呈现出来.教师如果将这些与函数相关的内容介绍给学生,将在学生所对应的前概念的转化、学生思维的建构方面起到意想不到的作用.

这时就可以向学生介绍十八世纪时数学家们对函数概念的大讨论,以加深学生对函数概念的认识.

现在公认的函数概念定义是由德国数学家莱布尼茨给出的,这可能与他第一个引入“函数”一词有关.莱布尼茨把函数看作是随着曲线上点的变动而变动的几何量.由此可见,函数概念引入初期,人们对它的认识还是相当肤浅的.为了适应和推动数学的发展,人们对它进行了一次又一次的扩展,使函数概念逐渐地完整起来.特别地,可以向学生介绍下面两个函数：

（1）可以画出函数图象,（2）根本就画不出图象,是不是函数呢？就从当时学生的认识水平来看,可能就得出不是函数的结论.但这两个函数在数学史上是两个“有名”的函数,参与了“真函数”与“假函数”的讨论：当时人们将只有一个解析式的称为“真函数”,反之则称为“假函数”,其实已经看到“假函数”也是函数的一种,只是从当时的函数定义来看,还不是“函数”.很快地随着函数定义的扩充,这一类“假函数”也成为函数中的一员,没有人再对它们的身份产生怀疑了.（2）将“对应”引入了函数的定义中,它根本就画不出函数图象,只能从对应的角度考虑,并由此形成了现在高中的函数的概念.这样引入既可使初高中函数知识浑然一体,又可促使学生所对应的前概念向高中函数概念转化.

2.2 “替代概念”的产生及发展

正如图1所述,高中生在学习数学概念的过程中往往会产生相对应的“替代概念”,从而产生规律性错误,导致学习障碍,影响了数学知识的掌握及数学能力的提高.“替代概念”也可能由“前概念”转化而成.在概念教学中,应重视各种“替代观念”的产生过程与原因,并且制定正确的转化策略,从而顺利地建构正确的概念.

学生在学习数学概念或教师在概念教学时,常利用学生自身已有的生活知识与经验,即利用已有的素朴观念去说明或描述正在学习的数学概念.于是在此基础上就产生了用“生活语言”去描述的“替代概念”,这给科学的数学概念教学带来不可忽视的、也可能是消极的影响.

例如,为了帮助学生较好地掌握极限的概念,我们无疑应充分利用学生已有的知识和经验,特别是,在对极限的概念进行描述时,我们不可避免地会用到“趋近”、“接近于”等日常用语——事实上,甚至连“极限”这一术语本身也是从自然语言中直接借用的——而这对于调动学生从日常生活中积累起来的相关经验显然是十分有益的.但正如心理学家维纳所指出的,日常意义在数学中的这种“渗透”也可能造成一些消极的后果,比如就其日常意义而言,“极限”这一概念往往包含“不可超越”的涵义（就如“速度的极限”等）.类似地,当我们用“趋近”、“接近于”等概念来对数列的极限进行说明时,也很容易造成这样的印象:作为一个过程,数列的项永远不可能与其极限相等.这就产生了如下极限概念的“替代概念”:极限值是一个无限接近的常数,且数列的所有各项均不可达到这个常数.

另外,由于学生关于数列的经验主要局限于这样的实例,即其各个项是由一个通项公式统一给出的,特别是,这又往往是所谓的单调数列,从而,在新的学习过程中出现以下的情况就不足为奇了,即学生认为以下的数列并非是一个而是两个数列: …;而诸多单调数列的实例无疑又进一步加强了关于“数列的项永远不可能与其极限相等”这一不正确的概念.

在极限概念的教学中可适量增加形象的比喻以及实例的教学,减少对概念形式的“纠缠”,即注重实质,适度形式化.从而使学生在认知冲突中完成头脑中所对应的“替代概念”向正确的概念或思想方法转化.

2.3 四种概念的相互关系释注

由图1可知,作为概念学习的基本过程,前概念往往处于学习者在学习中的初始位置,其发展方向不定,其他三种概念都可成为它的“生长点”.而替代概念与错误概念皆可成为概念建构过程中的“中间概念”,并且相互之间可以转换.如果能够对前概念及替代概念进行恰如其分地引导与修正,并且彻底根除相应的错误概念,然后把它们转化为正确概念,那么概念学习就能获得圆满成功.

例如,在高中数学新教材必修3《概率》的新课教学时,由于学生在初中已经初步地接触了统计学的相关概念,那么就会产生概率的前概念,即概率值是所有频率的平均值;但这种前概念是一种错误概念,而有的学生在学习概率概念之后,也会产生如下的替代概念:概率值是实验次数足够大时的所有频率的平均值;概率值是实验次数足够大时频率的近似值;概率值是当次数n→+∞时,频率 趋近的常数.这些前概念与替代概念经过教师的及时点拔之后,会转化成正确的概率概念.

事实证明,有的学生对概念理解肤浅,对数学概念的形成、概念的内涵和外延不甚了解或一知半解,造成对概念的“假性理解”,产生概念的理解“偏差”.可能就会出现与以上所述类似的前概念、替代概念以及错误概念.在实际数学教学中,笔者认为应充分利用书上的例题,让学生与教师组成学习共同体,经过激烈地讨论与协作,针对以上的非正确概念,抓住其“病杜”所在,分析其产生根源,使学生达成对概念的共识.

参考文献

[1] 郑毓信、梁贯成编著. 认知科学、建构主义与数学教育[M]. 上海:上海教育出版社,2002

作者简介 黄加卫,男,浙江省湖州市人,71年出生,中教一级,硕士学位,在《数学通报》、《中学数学教学参考》等省级以上杂志上发表论文近60篇.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”