道理是这样的

林向阳　贾传武

人教版九年义务教育六年制小学数学第九册第76页第4题：我们经常见到圆木、钢管等堆成像下图的形状，通常用下面的方法求总根数：(顶层根数+底层根数)×层数÷2。想一想是什么道理，并算出图中圆木的总根数。

在说明“想一想是什么道理”时，很多教师认为这堆钢管的横截面像梯形，顶层根数相当于梯形的上底，底层根数相当于梯形的下底，层数相当于梯形的高，总根数相当于梯形的面积。因为梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，所以圆木的总根数：(顶层根数+底层根数)×层数÷2。由此，可以看出，求圆木的总根数用的就是梯形的面积公式。只是写法稍微有些不同罢了。再者教材的编排也说明了这一点，教材把这题放在了刚学完梯形的面积公式之后，这一题就是梯形的面积公式在实际生活中的应用。

笔者认为上面的说法是不正确的。首先，上面的推理值得我们质疑。他把这堆圆木的“顶层根数”、“底层根数”、“层数”、“总根数”，分别同梯形的“上底”、“下底”、“高”、“面积”建立联系，如果仅仅用这样的类比去寻求圆木总根数的解答方法是可以的。可是，有一点是怎么也说不通的：把这堆圆木的“顶层根数”和“底层根数”分别看作梯形的“上底”和“下底”时，为什么一定要把圆木堆码的“层数”看作梯形的“高”，而不是把它看作梯形的“腰”呢?事实上。它不是和“腰”更相似吗?我们数这样堆码的圆木层数时，一定要从横截面去数吗?难道不可以从腰部(侧面)去数吗?当我们把“层数”看作梯形的“腰”时，那么求总根数的公式与求梯形的面积公式就无法建立联系了，因此不能说求圆木总根数用的公式就是梯形的面积公式。其次，这道题目的要求不是求那个近似于梯形的横截面的面积，而是求圆木的总根数。我们拿这个“横截面”来说．从整体上看。外表确实有点像梯形，但它的截面本身不是梯形，而是一些相切的圆，如果堆起来的是钢管的话，它的截面就是一些“圆环”了。这就进一步说明：既不是标准梯形，又不是求面积，怎么能用梯形的面积公式去计算呢?第三，如果按照上面的理由，堆成的圆木截面是三角形的话，就应该用三角形的面积公式“底×高÷2”，即“底层根数×层数÷2”去求总根数了，这样做对不对呢?请求右边一堆圆木的总根数试一试。按照三角形的面积公式列式为4×4÷2=8(根)，这显然不对，一眼就可以看出来这堆圆木是10根而不是8根。

那么，教材中这样求圆木的总根数到底是什么道理呢?我们得从求圆木总根数的实质去分析：题目中圆木从上到下，第一层有2根，第二层有3根，第三层有4根，第四层有5根，第五层有6根，即图中圆木的总根数为2+3+4+5+6。在这一列数中，从第二个数起，每一个数与它前一个数的差都是1，所以它是一个等差数列(如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，这个数列就叫做等差数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数)，求图中圆木的总根数就是求这一等差数列的和。因此，这个求圆木总根数的题目，实际上是求等差数列前几项的和的应用题。已知等差数列的首项a₁，项数为n，第n项a_n，所以S_n=(a₁+a_n)×n÷2，写成文字表述形式为：等差数列前n项的和=(首项+末项)×项数÷2。这一题就是求等差数列2、3、4、5、6……前5项的和，用公式求得：(2+6)×5÷2=20(根)。

如果用这样的理解去求上面堆成横截面是三角形的圆木总根数就是：(1+4)×4÷2=10(根)。这进一步说明：求圆木的总根数不是三角形面积公式、梯形面积公式的运用。而是求等差数列前n项和的公式的运用。

总之，把这里求圆木的总根数说成是梯形面积公式的应用是错误的。题目中求圆木总根数的理由可以从求等差数列前n项和的角度去说，也可以从组拼还原的角度去说。

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