观察与归纳

徐长青

活动目的

1.从生活入手利用简单枚举，感悟并掌握一般归纳的方法。

2.尝试用归纳的数学方法解决相关的数学问题，感悟数学方法的魅力。

3.在学习生活中提高独立探究与自主发现的学习能力，并在其情感、态度、价值观的走向上加以引导。

活动过程

一、情景活动：建构数学方法。

1.学会观察，引发问题。

师：刚才欢迎老师时，你们用身体的哪个部分来表示的？

生：手——

师：谢谢你们（教师向一位同学伸出手，学生也伸出手和老师握手），看，用你们的小手一下子就拉近了我们的距离，那我们今天的活动就从手开始吧！

师：请把你们的手伸出来，手没有什么特殊的，是不是？但其中有许多学问。这是什么？（伸出一个食指。）

生1：这是老师胖胖的手指。

生2：这是老师右手胖胖的食指。

师：他的描述更加仔细。这个手指与数学有什么关系呢？用一句话来说。

生：这是一根手指。

【教师从手说起，巧妙地沟通感情，自然导入，使学生带着欢乐、求知、好奇的心态进入学境。数学就在你身边，数学学习是现实的，这不是一句空话。因为每个学生都熟悉手，自然就没有陌生感，全情投入思考就成为必然，教师就得以利用学生的已知去引发他们的潜知或不知。】

师：他的脑子里充满了数学。这是什么？你联想到数字几？（伸出食指、中指。）

生1：这是2。

生2：数字11。

生3：两根手指并在一起，从侧面看它就是数字1。

师：横看成岭侧成峰。

把两根手指看作一个整体，是一个大1。

生：我还从两个手指中发现一条指缝。

师：看到它你想到什么？（伸出3个手指。）生1：数字3。

生2：还有3个手指间的2个指缝。

生3：3个手指合并在一起，看成一个整体。

师：还可以联想到许多，1、2、3是观察的个体。（板书：个体）在观察个体时，要注意什么？

生1：仔細，全面。（板书：仔细，全面）

生2：展开联想。电脑显示：分别为伸出1、2、3个手指的手。

师：观察这一组画面你发现了什么规律？

【来源于学生认知中的原有信息是宝贵的教育资源，教师不断引导学生对这些信息提炼整合。用一句话涵盖全部信息的过程就是儿童认知整合与提升的过程。这种采集与提升应由学习者来完成，唯其如此才是本质意义上的自我建构，在教师引导下学生的自主学习就是这样开始的。教师应该清楚数学的教学应是由个体现象到一般规律的提升。这里教师的一句话使学生由对个体现象的关注转移到对一些相关现象的反思、提升上，这就是由特殊到一般的归纳思想，也是教师导学艺术的体现。】（学生分小组热烈讨论。）

生：手指数在增加，指缝数也在增加。

师：他发现了一条隐藏的规律，他的思维是不是提醒了我们？

生：指缝数=手指数-1。（板书）

师：还可以怎样说？在观察一组物体时要注意什么？

生：共性、联系。（板书：一组物体——共性———联系）

师：由多个一般事实，通过观察、分析总结出规律的过程就是简单归纳。用你自己的话说一说什么是归纳，归纳要注意什么？

【基于已有的认识，制造一系列相关现象，在学生茫然之时，教师的适时引导，让学生在思维中逐步删除非本质属性而牢牢地抓住本质属性的过程是方法与思想的构建过程，数学的教学应是体验，是方法的提升，是思考的过程。】

2.实践应用，反思完善。

师：祝贺你们成功了。根据这一现象，总结出这么好的公式。你们觉得归纳可怕吗？

生齐：不可怕！

师：下面，我们检验一下这个公式对不对？2个手指？生：一个缝。

师：3个手指？生：2个缝。

师：3个缝？生：4个手指。

师：5个手指？生：4个缝。

师：真棒，5-1=4。10个手指？生：9个缝。

老师诧异地看着双手说：左手4个缝，右手4个缝，2只手是8个缝。这个公式不对啊？

生独立思考后，争着演示说：这样，这样。（双手合拢。）

师：我这明明是两只手啊，为什么要合起来？

生：因为我们把两只手看作一个整体。

师：噢，刚才我们是在什么范围内总结这个公式的？

生：一个整体。

师：这说明一切数学问题都是条件问题。离开了它产生发展的条件，那规律是不存在的，但是当条件与规律适用的范围不符时，我们可以改变条件，这就是数学的创造性思维。刚才同学们一下子总结出两只手9个缝，你们还有别的想法吗？

【学习中，学习者往往对结论给予极大的关注，常常忽视事物产生的条件和变化的过程，常常是利用已知去演绎而缺少从已知迈入未知的意识，我们的课堂要引导学生创新反思，关注条件与过程。上面这一环节的设计引发了学生对结论的反思和对条件的关注。学数学就要问数学，问题是思维的开始，教师设计时没有让结论成为活动的终点。】

生：把两只手合成1个圆桶型，这就是10个指缝了。

师：其实同学们思考的过程就是归纳的过程。你在生活中还遇到过这样的问题吗？

生：植树，锯木段……

师：一个数学规律被发现后，可以把它推广到生活的许多问题中去。我希望同学们认真地观察，仔细地归纳，发现更多的规律。

【自觉地发现、探索与创造，使熟悉的事物或简单的例证带给学生以乐趣，伟大的数学思考常常就在简单的事例、活动中实现。课堂教学不能远离学生，更不能远离生活。从熟悉的生活中提炼数学问题，孩子们会感觉到自己在课堂中成长，会体会到成功给予他的快乐，通往成功的学习路径（方法）将帮助他开始另一次成功的旅途，还会体会到过程与方法比结论更重要。通过做数学、学数学、问数学，学生会爱上数学。】

二、操作演绎，尝试初步归纳。

出示：三角形的内角和是多少度？你用什么方法证明？

（学生讨论，选择方法，进行演示，讲清思路，确定名称。）

师：证明三角形内角和是180°，谁有最好的方法告诉我？

生1：用量角器量一下。

生2：我不用量角器也可以证明三角形内角和是180°。

（学生分小组操作证明。）

生：这三角形三个角相加是180°。

师：起个名字？生1：量角求和法。

生2：我把三角形撕成三块，拼起来正好是一个平角。一个平角是180°，从而证明三角形内角和是180°。

师：他们的胆子真大，居然把三角形撕开了。

起个名字？

生：撕角求和法。

师：归纳得很好。电脑演示撕三角形拼平角的过程。

生：我们是把三角形的三个角折在一起。这三个角组成一个平角180°。名字叫折角求和法。另一组学生把3个相同三角形的不同的角拼到一起。叫三拼求和法。

师：他们组的同学多有合作精神！每人拿出一个三角形，省去了撕、折的过程。电脑演示三拼求和。

【来源于学生的反复求证，不同的方法，同样的证理，在使学生获得属于自己“专利”的正确途径后，又为下面的研究积累了大量原始信息，对图形的个体现象的研究，最终将上升为对生成问题和图形组群的研究，特征、方法与规律不正蕴含其中吗？】

三、枚举归纳，主动探索规律。

师：四边形内角和是多少？（鼓励学生利用已有经验大胆猜测。）

生：把四边形的四个角拼在一起组成了一个周角，周角是360°，我们断定四边形的内角和是360°。

师：还有吗？生：（学生首先剪角演示）左边的角是平角，右边是平角。

师：大家同意吗？生：不同意，因为左边的是个折线不是平角。

师：我们来看这是不是四边形的内角？（指出四个正确的内角。）

师：不过这也不失为一种方法，再改造一下就好了。

生：我们组的方法是这样的：这是一个不规则的四边形图形，因为它可以剪成两个三角形，三角形的内角和是180°，所以剪成两个就是360°。

【智力是多元的，思考是多维的，方法是多种的，教学中教师没有轻易因答案的错误而否定一个方法，而是肯定方法，寻找不足，最终得出正确答案，这是对学生思维的保护，也是对创新思维的培养。】

师：我们来动手做一下行吗？

生：可是四边形可以剪成三个三角形啊，难道可以说是540°吗？

师：那我们就分成两个小组进行辩论。怎么就是360°了？

生：因为你无意中多剪了两个角。

师：两个角是多少度？

生：180°。

师：540°-180°等于多少？

生：360°。

师：你们都把我说服了，但是得把不同意的同学说服呀。学生仔细演示，最后说服了说是540°的同学。

【课堂不仅是师生的对话，更应是生生的对话，信息发布者应让每个参与者了解、理解自己的信息并加以說明，这是教学民主的体现，在争论与说明中，每个参与者的认识在“对他的与我的为什么不同的系统思考”中得到完善和发展。】

师：你们握握手吧，谢谢你们！同时也特别感谢这位同学，你有着非常执著的精神。那么它的技巧究竟在哪里呢？我们这一刀应该切在什么地方呢？

生：角对角。

师：那这条线我们称之为——

生：对角线。

师：那么我们沿着对角线将图形分成尽可能少的三角形。那四边形可以分几个三角形呢？

生：两个。

师：我们给它取个名字。

生：一分为二求和法。

师：行不行？

生：行！

师：那我们就叫做一分为二求和法。我们比较一下，一分为二求和法与前面的量角求和、折叠求和、剪拼求和有什么不同？

【本节课中充满了问题意识，教师不断激发学生产生问题，又引导学生去进行比较，在比较中鉴别、突出事物的本质特征，这是一种重要的学习方法。可见，教师在本课的设计中突出了方法而淡化了结果。】

生：我们认为前几种方法或拼或剪，而我们用的一分为二求和法是用的已经学过的三角形内角和知识。

师：这种方法不是对原来方法的重复，而是在肯定三角形内角和基础上利用已有知识解决了新的问题，这位同学真棒，有一种成果意识和工具意识。我们知道三角形内角和实际上是多了一个工具，那么我们在知道了四边形内角和之后又多了一个工具。你们猜猜我在想什么？

生：五边形的内角和是多少？

师：谁来试试？

生1：我觉得五边形的内角和应该是540°。

生2：420°。

生3：540°。

师：请你们用自己的小手来分一下！

生1：我用的方法和上一次一样，我分成了三个三角形。（演示）180°×3=540°。

生2：我分成了一个四边形和一个三角形。四边形内角和是360°，三角形的内角和是180°，所以是540°。（热烈的掌声。）

师：真不错！这两种方法其实可以归到一种方法上去，也可以分成几份？

生：三份。

师：那这种方法叫什么？

生：一分为三求和法。

师：如果我还要问下去，还会问什么？

生：六边形、七边形、八边形……师：知识是无穷尽的。

我要这样不断地问下去，我也累、大家也累，那怎么办呀？能不能有好的方法让我们不累呀？