一道多元三角最值题的解法探究

摘 要：多元最值问题是高考或各地模拟考试的热点题型，而以三角函数为背景的多元最值问题，则无疑增加了试题的难度.求解这类问题的基本思路是：首先通过

三角恒等变换进行减元，然后运用导数、均值不等式等工具求最值.

关键词：多元；三角函数；最值；解法

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2025）01-0086-03

收稿日期：2024-10-05

作者简介：张则惶，本科，一级教师，从事高中数学教学研究.

湖北省武汉市2024届高三毕业生四月调研考试第14题是一道以三角函数为背景，考查三角函数、简单的三角恒等变换等知识的三元最值试题，该题以素养立意命题，综合性强，求解难度较大.下面对该试题的解法从不同视角进行探析.

1 试题再现

题目 已知A，B，C是一个三角形的三个内角，则cosA（3sinB+4sinC）的最小值为______.

2 试题简析

试题设问简明，短小精悍，思路明确.解答该题按两步走的策略：一是减元，利用三角函数知识和三角恒等变换等将三元化为二元，二元化为一元；二是化为一元函数后利用导数工具或三元均值不等式等手段求得最值.试题作为三角函数板块的难题，涉及主次元变换消元、换元、求导等方法

，很好地考查了化归转化、函数方程等数学思想的运用及分析、解决问题的能力，是一道落实数学抽象、逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养的优质试题.

3 解法探析

解法1 （辅助角公式+配凑+均值不等式）

4 结束语

上述试题是以三角为背景的多元条件最值问题，情形冗繁、复杂，而对于一般的多元条件最值问题，无论是何种情形，在多个变元相互联系、制约的条件式中，应用减元、配凑及换元等技巧，化归为均值不等式或运用导数等工具求最值，则是解答问题的常规思路和方法.许多时候，也可以转换角度，进行联想和类比，挖掘出设问中式子或图形的特征，则可寻到“非同寻常”解题途径.许多典型的数学试题，其中蕴含的思想方法或规律需要进行挖掘、延伸，因而在我们平时的解题过程中，要适时地将问题推广延伸为一般性的结论用于解决相关问题［1］.

参考文献：

［1］ 朱彬，胡晓静.对一道椭圆联考题的解法与延伸探究［J］.中学数学研究，2023（07）：56-58.

［责任编辑：李慧娇］