一道立体几何考题的多解探究

三棱锥外接球问题是立体几何中的难点，也是高考命题的热点，考查学生的数形结合、函数与方程，以及转化与化归思想等.基于此，本文中拟结合2019年全国卷Ⅰ理科第12题，探讨处理三棱锥外接球问题的常用方法，旨在帮助学生拓宽解题思维视野，提高空间想象能力、数形结合能力，提升数学核心素养.

1 考题再现

已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（" ）.

A.86π

B.46π

C.26π

D.6π

2 预备知识

（1）余弦定理变形式：

cos A=b2+c2－a22bc，

cos B=a2+c2－b22ac，

cos C=a2+b2－c22ab.

（2）正三棱锥的三组对棱分别互相垂直.

图1

证明：如图1，设P-ABC为正三棱锥，作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接OC，则易知O是等边三角形ABC的中心，所以OC⊥AB.

由PO⊥平面ABC，得PO⊥AB.

又OC∩PO=O，所以AB⊥平面POC.

又PC平面POC，所以AB⊥PC.

同理，可得AC⊥PB，BC⊥PA.

故正三棱锥的三组对棱分别互相垂直.

（3）（i）若正方体的棱长为a，则该正方体的外接球的半径为32a.

（ii）若经过长方体同一顶点的棱长分别为a，b，c，则该长方体的外接球的半径为12a2+b2+c2.据此可知：若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥的外接球的半径为12PA2+PB2+PC2.

3 多解探究

解法一：设三棱锥的侧棱长为2a（agt;0），则根据∠CEF=90°可得EC2=FC2－EF2=3－a2.

于是，在△EPC中，由余弦定理得

cos∠EPC=a2+（2a）2－（3－a2）2×a×2a；

在△APC中，利用余弦定理得

cos∠APC=（2a）2+（2a）2－222×2a×2a.

又∠EPC=∠APC，则

a2+（2a）2－（3－a2）2×a×2a=（2a）2+（2a）2－222×2a×2a，

解得a=22，从而侧棱长为2a=2.

图2

如图2，作PN⊥平面ABC，垂足为N，则易知点N为△ABC的外心，且点N在CF上.

因为CN=233，PC=2，所以PN=PC2－CN2=63.

设球O的半径为R，易知球心O在直线PN上，所以在Rt△CNO中可得NO2+CN2=CO2，

即

R－632+2332=R2.

解得R=62.

所以球O的体积V=43π×623=6π.

故选：D.

评注：（1）该解法的关键在于两点.一是两次灵活运用余弦定理，准确计算三棱锥的侧棱长；二是根据勾股定理构建方程，求解三棱锥的外接球的半径.

（2）侧棱长还可以这样求解：

设侧棱长为2a（agt;0），则根据∠CEF=90°可得EC2=3－a2.于是，在△AEC中，利用余弦定理得

cos∠EAC=a2+22－（3－a2）2×a×2.

作PD⊥AC，垂足为D，则根据Rt△APD可得cos∠PAD=ADAP=12a.

又∠EAC=∠PAD，则

a2+22－（3－a2）2×a×2=12a，

解得a=22，从而侧棱长为2a=2.

（3）求得侧棱长为2之后，还可以这样求解：

由PA=PB=PC=2以及△ABC是边长为2的正三角形，可得三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，易知球O的半径为R=12PA2+PB2+PC2=62.

故球O的体积V=43π×623=6π.

图3

解法二：如图3，作PN⊥平面ABC，垂足为N，则易知点N为等边三角形ABC的外心，且点N在CF上.

建立如图3所示的空间直角坐标系F-xyz，其中PN∥z轴.设PN=h，则点F（0，0，0），A（－1，0，0），C（0，3，0），P0，33，h.

于是可知PA的中点E－12，36，h2.

因为∠CEF=90°，所以CE⊥FE，于是CE·FE=0.又可得

CE=－12，－536，h2，

FE=－12，36，h2，

所以可得14－1536+h24=0，解得h=63.

易知球心O在直线PN上，所以可设球心O的坐标为0，33，m.

于是，根据AO=OP，以及AO=1，33，m，OP=0，0，63－m，可得

12+332+m2=63－m2.

解得m=－66，则球O的半径为

R=12+332+－662=62.

故球O的体积V=43π×623=6π.

故选：D.

评注：该解法灵活运用空间向量法，其关键在于两点.一是将∠CEF=90°转化为CE·FE=0；二是根据|AO|2=|OP|2，巧求球心O的坐标.

解法三：因为PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P-ABC是正三棱锥，从而易知PB⊥AC.

因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EF是△APB的中位线，所以EF∥PB.又由∠CEF=90°，得EF⊥EC，所以PB⊥EC.

又AC∩EC=C，所以PB⊥平面APC，所以PB⊥PA，PB⊥PC.

由△APC≌△APB，可知PA⊥PC.又由PB⊥PA，PA=PB，AB=2，可得PA=PB=PC=2.

图4

于是，根据三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为2，可将之补形为棱长为2的正方体APCD-NBGM，如图4所示.

由图4知，三棱锥P-ABC的外接球就是正方体APCD-NBGM的外接球，所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R=32×2=62.

故球O的体积V=43π

×623=6π.

故选：D.

评注：该解法侧重于从推理论证的角度获得三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，并借助“补形法”巧求三棱锥P-ABC的外接球的半径.整个解题过程，显得比较自然、明了，故该解法值得我们去细细品味、深思！

综上，该考题设计较好，有利于考查考生对数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用能力，有利于考查考生对所学立体几何、解三角形、空间向量知识的综合运用能力，同时也有利于较好地培养考生在直观想象、数学运算、逻辑推理方面的核心素养.一言以蔽之，该考题解法多样，有利于考查各类考生的内在潜能，的确是一道难得的好题！