发散思维应用，巧妙视角变式

摘要：解三角形情境下的综合应用问题，可以较好地融合相应的基础知识与基本技能，成为高考命题中的一类常见考查方式.结合一道模拟题，基于解三角形问题的创设及其应用，从不同思维视角切入，合理发散思维，巧妙变式应用，有效指导复习备考.

关键词：三角形；三角函数；最值；基本不等式；辅助角

涉及解三角形情境下的综合应用问题，是历年高考中一个基本的考点，场景变化多端，考查形式多样，成为高考中对数学素养的考查要求比较高的一类考查场景.而此类解三角形综合问题，合理交汇并融合初、高中知识中相应的平面几何、平面向量、解三角形、函数与方程、三角函数及不等式等众多的相关知识，有效落实新课标中“在知识交汇点处命题”的高考基本指导思想，备受各方关注.

1 问题呈现

问题" （2024年南京市高三年级第二次模拟考试数学试卷·8）在斜三角形ABC中，若sin A=cos B，则3tan B+tan C的最小值为（" ）.

A.2

B.5

C.6

D.43

此题以三角形为问题场景，结合三角形中两内角所对应的三角函数关系式来巧妙设置，进而求解对应三角关系式的最值（或取值范围）问题.

解决问题的关键，就是借助题设条件加以恒等变形与转化，结合所求的三角关系式化同角，为进一步的分析与求解创造条件.而在化同角的三角关系式的基础上，借助三角关系式的结构特征，或利用基本不等式合理放缩，或利用三角函数的基本性质巧妙应用，都是解决此类问题的基本技巧与方法.

2 问题破解

方法1：基本不等式法1.

由sin A=cos B=sinπ2－B，得A=π2－B或A+π2－B=π，即A+B=π2或A－B=π2.又△ABC为斜三角形，则A－B=π2，即A=B+π2.于是可得

3tan B+tan C=3tan B+tan（π－A－B）=3tan B+tanπ2－2B=3tan B+1tan 2B=3tan B+1－tan 2B2tan B=52tan B+12tan B.

由于C=π－A－B=π2－2Bgt;0，则B∈0，π4，可知tan B∈（0，1）.利用基本不等式，得3tan B+tan C=52tan B+12tan B≥252tan B×12tan B=5，当且仅当52tan B=12tan B，即tan B=55时，等号成立.

所以3tan B+tan C的最小值为5.

故选择答案：B.

点评：根据三角函数中相关三角关系式的条件，合理变形与转化，巧妙化为同角，借助三角函数关系式的结构特征，利用基本不等式进行放缩，进而确定相应的最值.涉及三角函数与不等式这两个基本知识点的交汇与融合问题，通常是高考命题的一个重要方向，也是知识交汇与融合的一个基本点，在各级各类模拟题中出现的频率很高，要引起足够的重视.

方法2：辅助角公式法.

依题，cos B=sin A=sin（B+C）=sin B＼5cos C+cos Bsin C，若C为钝角，则该等式右边明显小于左边，所以C只能是锐角.同时，易知B为锐角.

将cos B=sin Bcos C+cos Bsin C的

两边同时除以cos Bcos C，可得1cos C=tan B+tan C，即tan B=1cos C－tan C，则

P=3tan B+tan C=31cos C－tan C+tan C=3cos C－2tan C=3－2sin Ccos Cgt;0.

结合三角函数的辅助角公式，整理可得3=2sin C+Pcos C=4+P2sin（C+φ），则有4+P2≥3，可得P2≥5，解得P≥5.

所以3tan B+tan C的最小值为5.

故选择答案：B.

点评：根据三角函数中相关三角关系式的条件，结合三角恒等变换公式及其应用，合理变形与转化，巧妙化同角处理，结合三角函数关系式的特征，借助三角函数的辅助角公式，巧妙引入参数进行整体化思维，利用三角函数的有界性构建对应的不等式，进而确定三角关系式的最值.回归三角函数问题的本质，依托三角恒等变换、三角函数的图象与性质等来综合应用.

3 变式拓展

依托原问题及其求解过程，从相应的问题场景创设入手，结合不同的条件加以设置，得到系列相应的变式问题，合理发散数学思维，巧妙提升数学品质.

变式1" 在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A=cos B.

（1）求A－B的大小；

（2）求3tan B+tan C的最小值；

（3）若a=1，求AB·AC的最小值.

解析：（1）A－B=π2.（过程略）

（2）3tan B+tan C的最小值为5.（过程略）

（3）由（1）可知A=B+π2.由正弦定理，得bsin B=asin A=1sinB+π2=1cos B，即b=tan B.

又C=π－A－B=π2－2B，同理可得1cos B=csin C=csinπ2－2B=ccos 2B，则c=cos 2Bcos B.

由sin A=cos B，易知B为锐角.

结合三角恒等变换公式与基本不等式，可得AB·AC=bccos A=tan B·cos 2Bcos B·cos A=sin Bcos B·cos 2Bcos B·cosB+π2=－sin Bcos B·cos 2Bcos B·sin B=－（1－cos2B）（2cos2B－1）cos2B=2cos4B－3cos2B+1cos2B=2cos2B+1cos2B－3≥22cos2B×1cos2B－3=22－3，当且仅当2cos2B=1cos2B，即cos2B=22时等号成立.

所以AB·AC的最小值为22－3.

变式2" （湖北省武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷·14）设A，B，C是一个三角形的三个内角，则cos A（3sin B+4sin C）的最小值为.

参考答案：－1253108.

4 教学启示

4.1 恒等变形，化归转化

依托解三角形场景的三角关系式的最值（或取值范围）问题，往往离不开三角形的基本性质、三角恒等变换公式等的变形与转化，巧妙“化同名”与“化同角”，为进一步求解三角关系式的最值（或取值范围）创造条件.

而在同名或同角的三角关系式条件下，借助三角函数的图象与性质，通过三角函数的有界性实现放缩处理；借助不等式的基本性质，通过重要不等式的性质来放缩转化；借助函数与导数的应用，通过求导运算与函数的单调性来判断等.这些基本方法都是解决此类问题的常见技巧与方法.

4.2 回归本质，拓展思维

涉及解三角形的综合应用问题，特别是三角关系式的最值（或取值范围）问题，借助解三角形、平面几何等相应的定理、公式，合理实现三角形中对应角之间的转化与应用.同时合理回归平面几何图形的直观形象，数形结合来处理.

而从解三角形问题中合理挖掘内涵，回归问题的本质，借助解三角形问题的数学运算或直观想象，实现初、高中知识间的交汇与融合，特别是巧妙将相关的解三角形、三角函数、函数与方程、不等式等知识巧妙地渗透与融合进去，拓展数学思维方式与解题策略，实现解题过程的优化与创新应用.