基于保持特殊性质，探寻动点轨迹

摘要：立体几何中的动点轨迹及其应用问题，是高考数学命题中的重点与难点之一.在立体空间的应用场景下，基于动点保持所对应元素性质如平行关系、垂直关系、等距关系及等角关系等的轨迹及其应用问题，结合实例就一些常见的基本性质类型加以剖析应用，归纳总结解题技巧与策略，指导数学教学与复习备考.

关键词：立体几何；动点；轨迹；平行；垂直

立体几何中的动点轨迹问题，是以空间图形为基本素材，借助符合一定特殊条件的点的轨迹的探究来综合与应用.特别是，借助空间中动点的变化规律，保持所对应元素的基本性质，在此条件下探寻动点的轨迹与应用问题，成为高考考查的一个热点与难点，备受各方关注.本文中结合空间中动点保持元素的基本性质的类型，就动点保持平行关系、垂直关系、等距关系及等角关系等加以剖析，抛砖引玉.

1 动点保持平行关系

动点保持平行关系的问题，往往是基于动点与定点所对应的直线，与其他直线之间保持平行关系，或与相应平面之间保持平行关系等，进而探寻满足条件的对应动点的轨迹及其应用问题.

例1" 〔2024年湖北省八市高考数学联考试卷（3月份）〕在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，N为四边形A1D1DA内一点（含边界），若B1N∥平面BMD，则线段B1N长度的最小值为.

分析：根据题设条件，利用动点保持平行关系，依托条件线面平行关系——B1N∥平面BMD，借助辅助线的构建与应用，转化为相应的面面平行关系——平面B1D1N1∥平面BMD，由此来确定动点N的轨迹——在线段D1N1上（含端点），实现问题的巧妙转化与应用，给进一步求解对应线段长度的最小值提供条件.

图1

解析：依题，如图1所示，分别取AA1，DD1的中点N1，E，连接D1N1，B1N1，AE，B1D1，A1N.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易得AE∥BM，B1D1∥BD，D1N1∥AE，所以D1N1∥BM.

又D1N1，B1D1平面B1D1N1，BD，BM平面BMD，且D1N1∩B1D1=D1，BD∩BM=B，所以平面B1D1N1∥平面BMD.

因为N为四边形A1D1DA内一点（含边界），且B1N∥平面BMD，所以点N在线段D1N1上（含端点），所以当B1N⊥D1N1时，线段B1N的长度最小.

因为B1N1=D1N1=5，B1D1=22，所以△B1N1D1的边B1D1上的高为（5）2－（2）2=3，则S△B1N1D1=12×22×3=6.

当B1N⊥D1N1时，B1N最小，求得B1Nmin=2S△B1N1D1D1N1=265=2305.

点评：在立体几何中，常见的解决与平行关系有关的轨迹问题的策略有两个.（1）将线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量的垂直关系求轨迹.

2 动点保持垂直关系

动点保持垂直关系的问题，往往是基于动点与定点所对应的直线，与其他直线之间保持垂直关系，或与相应平面之间保持垂直关系等，进而探寻满足条件的对应动点的轨迹及其应用问题.

图2

例2" 〔2024年江苏省南通市如皋市高考数学适应性试卷（二）〕如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=AB=1，M为空间中一动点，G为PC的中点，PA⊥平面ABCD.若MA·MG=0，则点M的轨迹围成封闭图形的体积为.

分析：根据题设条件，利用动点保持垂直关系，进而确定动点M在以AG为直径的球面上，利用空间几何体的性质特征确定线段AG的长度，并利用动点M的轨迹围成的封闭图形为一个球，借助球的体积计算公式来分析与求解.

解析：依题，连接AC.由MA·MG=0可知MA⊥MG，则点M在以AG为直径的球面上.

因为底面ABCD为正方形，AB=1，所以AC=2.

由PA⊥平面ABCD，得△PAC为直角三角形，所以AG=PC2=12PA2+AC2=32.

所以点M的轨迹围成的封闭图形是以线段AG的中点为球心，线段AG的长度为直径的球，则其对应的体积为43×π×343=316π.

点评：在立体几何中，常见的解决与垂直关系有关的轨迹问题的策略有三个.（1）将线线、线面垂直转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）将垂直关系转化为平行关系求轨迹.

3 动点保持等距关系

动点保持等距关系的问题，往往是基于动点到定点的距离、动点到定直线的距离、动点到定平面的距离等保持一致性或是相对应的常量，进而探寻满足条件的对应动点的轨迹及其应用问题.

例3" （2024年湖北省高考数学联考试卷）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，A1P=23，则点P的轨迹长度为.

分析：根据题设条件，利用动点保持等距关系，结合动点到定点的等距性转化，可分为两个部分，一个部分是动点P在平面ABB1A1，A1B1C1D1，ADD1A1上的轨迹，另一个部分是动点P在平面BCC1B1，CDD1C1，ABCD上的轨迹，确定对应扇形的圆心角大小与半径，进而确定动点的轨迹长度.

图3

解析：依题，如图3所示，点P的轨迹一部分是在平面ABB1A1，A1B1C1D1，ADD1A1内以23为半径，圆心角为π6的三段圆弧，另一部分是在平面BCC1B1，CDD1C1，ABCD内以3为半径，圆心角为π2的三段圆弧.

故点P的轨迹的长度为112×2π×23×3+14×2π×3×3=532π.

点评：在立体几何中，常见的解决与等距关系有关的轨迹问题的策略有两个.（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助球和圆的定义等知识求解轨迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹.

4 动点保持等角关系

动点保持等角关系的问题，往往是基于动点与定点所对应的直线，与其他直线之间保持等角关系，或与相应平面之间保持等角关系等，进而探寻满足条件的对应动点的轨迹及其应用问题.

图4

例4" （2024年吉林省吉林市高考数学第二次调研试卷）如图4，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，动点P满足AP=aAC+bAA1，且a，b∈（0，1）.若直线BP与BD所成的角为π4，则动点P的轨迹长为.

分析：根据题设条件，先确定动点P在矩形A1ACC1内，再利用动点保持等角关系，结合圆锥的几何性质，进而确定动点P的轨迹是以B为顶点的圆锥与矩形A1ACC1的交线部分，进而结合空间图形的确定与直观想象，合理求解对应的轨迹长度.

图5

解析：由题意可知，BA，BC与BD所成角都为π4.由AP=aAC+bAA1可知，点P在矩形A1ACC1内.

若直线BP与BD所成的角为π4，在线段OO1（O，O1分别为AC，A1C1的中点）上取点P1，使OP1=OB，则直线BP1与BD所成的角为π4，故点P的轨迹是以O为圆心，半径r=22，且在矩形A1ACC1内的半圆弧AP1C.

所以动点P的轨迹长为πr=22π.

点评：在立体几何中，常见的解决与等角关系有关的轨迹问题的策略有3个.（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面；（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；（3）利用空间坐标系计算求轨迹.

在解决上述几类动点保持所对应元素的基本性质（平行关系、垂直关系、等距关系及等角关系等）条件下，探寻相应动点的轨迹与应用问题时，抓住问题的本质，经常利用定义法、坐标法、交轨法及平面化法等解题策略来转化与应用，实现动点轨迹的探寻与应用，解决空间应用问题，实现问题的突破与求解，从而全面提升空间想象能力、直观想象能力及逻辑推理能力等，培养数学核心素养.