“五有四化”主题式教学理念下的“余弦定理”作业设计

【摘 要】 合理的作业设计有助于学生构建并完善学科知识网络，领悟并深化对数学思想方法的认识，促进数学学科能力与核心素养的发展.在进行高中数学“余弦定理”一节的课后作业设计时，可以根据知识结构化、结构问题化、问题情境化、情境生活化的“四化”原则与策略，精心谋划，合理布局，充分彰显有趣、有用、有理、有魂、有效的“五有”教学思想与主张.【关键词】 主题式教学；作业设计；余弦定理

作业是教学活动不可或缺的重要组成部分，教师通过学生的作业反馈可以对学生数学核心素养的达成情况进行客观评价，对自己的教学得失及时进行调整和改进；学生通过作业可以巩固课堂所学知识，加深对所学知识的理解并形成相应技能^[1].但在现实教学中，教师更多地关注课堂教学的设计，而忽略了作业的类型设计和针对性训练，学生缺乏自我的反思总结和方法提炼，把作业看作每天的任务去完成，机械打卡，完成作业的过程却不能使其经历有意义的学习过程.因而非常有必要对作业设计予以足够的重视，针对具体教学内容，在教学目标和数学课程标准的指引下，考虑学生的不同特点和知识能力水平，通过选择重组、改编完善、自主开发等手段，为不同类型的学生设计出符合他们自身特点和需求的作业.

基于减负增效的考虑，笔者所在学校开展了各学科的作业设计大赛，笔者代表高中数学组参加了这项有意义的比赛，设计了基于“五有四化”主题式教学理念的“余弦定理”作业设计，受到了评委的一致好评.以下将此次的作业设计案例整理成文，以供教育同仁研讨.

1 “五有四化”主题式教学理念的内涵

长沙市教育科学研究院教研员、正高级教师刘玉岳先生顺应基础教育课程改革要求，在多年教学实践与反思的基础上，提出了“五有四化”教学主张，其研究成果获得2022年基础教育国家级教学成果一等奖.“五有四化”主题式教学理念倡导：课堂教学顶层设计要体现“五有”的教学思想，即“创设问题情境，激发学生求知内驱，使教学有趣；联系生活实际，融合学科课堂实践，使教学有用；注重问题探究，培养学生思维品质，使教学有理；渗透学科思想，体现学科育人价值，使教学有魂；关注主体发展，提升学生生命质量，使教学有效”.课堂教学结构优化须凸显“四化”的教学策略，即“知识结构化，结构问题化，问题情境化，情境生活化”^[2].“五有四化”主题式教学理念不仅适用于课堂教学，同样适用于课后作业设计.

2 “余弦定理”作业设计案例

2.1 内容分析

（1）知识脉络：本知识点安排在《普通高中教科书·数学必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》中的“平面向量的应用”一节中，处于三角、平面向量等知识之后，是对三角与平面向量知识的应用.同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，定理本身的应用广泛." （2）知识价值：本节课共1个课时，是解三角形内容的第一节课，需要学生掌握利用余弦定理解决“已知三边求三角形的三个角”“已知两边及其夹角求三角形其他边与角”及“已知两边及其中一边对角求三角形其他边与角”问题，培养学生数学思维品质，激发学生探究数学、应用数学的潜能，发展数学核心素养.

2.2 学情分析

（1）知识水平：本节学习之后，学生初步掌握了余弦定理的证明、余弦定理的内容与重要变形，对于三角形中的边角关系有了新的认识." （2）难点预计：总体上，学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度.另外，从具体问题中抽象出数学的本质并解决问题是学生学习的一大难点.

2.3 作业设计目标

（1）知识与素养目标：掌握运用余弦定理解已知“边角边”“边边边”和“边边角”三类三角形的方法，发展逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养." （2）课程思政目标：通过将文化融入数学试题来充分发挥作业的育人功能和积极的导向作用；通过实践类作业加强社会认知，提升社会参与意识，感受数学在日常生活生产实际中的应用价值；通过平面几何、三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.

2.4 作业设计内容

从考查方向、核心素养、试题难度、完成时间等多维度拟定了作业多维细目表，将本节的作业设置为基础巩固题、能力提高题、数学文化题、实践应用题、设计分享题等五种类型，共11道题.

第一类：基础巩固题

（1）在△ABC中，若三边a，b，c满足a2=b2+c2+bc，则A="" .

（2）在△ABC中，已知a=3，b=4，C=π3，求c.

（3）在△ABC中，已知A=π3，a=3，b=1，求c，B，C.

（4）在△ABC中，已知A=π6，a=1，b=3，求c，B，C.

设计意图 课本习题的一组变式，对数字适当修改，便于无计算器演算.主要是运用余弦定理解“边角边”“边边边”和“边边角”三类三角形的方法，比较基础和简单，目的是巩固基础知识，使知识结构化，并发展学生逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养.

第二类：能力提高题

（5）在△ABC中，已知三边之比为4∶5∶6，求最大角的余弦值.

（6）在△ABC中，已知a=7，b=8，cos C=1314，求最大角的余弦值.

（7）在△ABC中，若acos A=bcos B，请判断这个三角形的形状.若acos B=bcos A呢？（选做）

设计意图 这是针对余弦定理的应用有一定深度的作业，主要是对教材内容的深度学习，通过不同角度、不同层次的问题启发思维，引导学生探索问题之间内在的联系，激励学生自主发现问题、分析问题、解决问题、提出新问题，体现结构问题化的要求.

第三类：数学文化题

（8）湘潭市境内的潭宝汽车站始建于1925年，其外形酷似“碉堡”，曾开创多个“第一”：我国第一个实行人车分流的车站、我国唯一保存最完整的早期汽车站、湖南早期最大的汽车站…….关于潭宝汽车站的设计者是谁暂无定论，但设计师一定有着丰富知识和广博见闻，他反复计算、测量了湘江的水位.在建房前，先用土方打下了一个用麻石砌护的台基，才使得建成后的潭宝汽车站，在洪水面前安然无恙.潭宝汽车站的站房主体建筑为层叠的圆柱形碉堡状，圆形的天井顶底直通，屋顶四周配以高大的窗户，采光充分，还可以充当瞭望塔（图1）.这种别出心裁的设计，当时一度成为湖南的标志性建筑.

某数学兴趣小组为了测得一层站房的直径AD的长，先在站房外围测得AB=30米，BC=30米，CD=20米，∠ABC=π3，∠BCD=2π3，据此可以估计一层站房的直径AD的长大约为"" .（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646，结果精确到1米.）

设计意图 数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容之一，渗透在每个模块与专题中.高考命题也强调增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极的导向作用，故而作业设计时应给出一些蕴含数学文化价值的选题.同时，数学问题情境化、情境生活化也能使数学学习与作业更有趣、有用.如图2，长沙市望城区茶亭镇惜字塔上塔树共存了一百多年，学习完正、余弦定理后，还可以树的高度为情境设置具体问题.

第四类：实践应用题

（9）在校园选取两棵不能直接到达的树木，借助三角板、量角器、卷尺等测量工具测出所需数据，写出测量方案并利用余弦定理求出两棵树木之间的距离.

设计意图 数学学习中的许多内容与社会、生活密切相关，通过问题情境化、情境生活化的作业，让学生通过观察、尝试等活动，加强社会认知，提升社会参与意识，感受数学在日常生活生产实际中的应用价值，促进个体社会化进程.这类作业要求小组合作完成.

第五类：设计分享题

（10）设计一份“余弦定理”的思维导图.

（11）查阅相关资料，撰写一篇关于《余弦定理的巧思妙证》的小论文.（选做）

设计意图 数学设计分享题可以让学生在动手操作、发散思维的过程中培养综合思考的能力，提升数学核心素养，如设计章节思维导图、创新问题解决办法、设计制作手工教具和学具等.

2.5 作业完成质量评价

3 作业设计反思

课后作业是对课堂教学内容的复习与巩固，更是对所学知识的梳理与内化、重构与升华.从这个意义上说，合理的作业设计有助于学生构建并完善学科知识网络，领悟并深化对数学思想方法的认识，促进数学学科能力与核心素养的发展.基于这样的认识，在进行课后作业的设计时，可以根据“四化”原则与策略，精心谋划，合理布局，充分彰显“五有”的教学思想与主张.

3.1 遵循“知识结构化”“结构问题化”的原则，让作业设计因结构性与层次性而“有效”

在设计作业时，遵循“知识结构化”与“结构问题化”的原则，旨在通过构建清晰的知识框架和将知识转化为具体可解的问题，来提升作业的有效性和学生的学习效果.这种设计方式不仅有助于学生系统地掌握知识，还能促进他们的问题解决能力和批判性思维的发展.一方面，作业问题要体现知识框架，引导学生深入理解和梳理作业中所考查的关键知识点与思想方法，明确它们之间的逻辑关系，进一步完善数学知识体系，形成对知识较为宏观的整体认知；另一方面，确保作业设计的有效性与层次性，根据知识框架的层次性，设计不同难度级别的问题，从基础记忆型问题到理解应用型问题，再到创新拓展型问题，满足不同学生的学习需求，确保每个学生都能在适合自己的难度和挑战中取得进步.

3.2 遵循“问题情境化”的原则，让作业设计因情境化而“有趣”

遵循“问题情境化”的原则来设计作业，是一种将学习内容融入具体、生动、有趣的情境中，以激发学生兴趣、增强学习动机的有效方法.把知识点融入情境之中，让生动有趣的作业取代机械重复、枯燥乏味、无思维价值的繁琐计算与练习，使学生情绪高昂，乐于思考.这样的作业设计不仅能使学习过程更加有趣，还能帮助学生更好地理解和掌握知识，提升他们的问题解决能力和实际应用能力.作业设计的情境创设要突出趣味性与科学性，吸引学生的注意力，激发他们的好奇心.情境创设也强调情感共鸣，可以选择与学生情感产生共鸣的情境，如环境保护、社会公益等话题，让学生在解决问题的同时，培养社会责任感.情境创设还应鼓励创新探索，通过设计开放式的问题情境，鼓励学生自由发挥想象力和创造力，提出多种解决方案，培养他们的创新思维能力.

3.3 遵循“情境生活化”的原则，让作业设计因生活化而“有用”

遵循“情境生活化”的原则，意味着将作业设计与学生的日常生活紧密结合，使学习内容更加贴近学生的实际经验，从而提高学习的实用性和相关性.数学作业更加贴近学生的生活实际，就能让学生感受到数学不仅仅是抽象的符号和公式，而且与他们的日常生活紧密相关，具有实际应用价值.这样的学习与作业体验能够激发学生的学习兴趣，提高他们的数学应用能力和解决问题的能力.在具体的作业设计中，可以设计需要学生运用所学知识解决现实生活问题的作业；可以设计跨学科的项目，让学生将不同学科的知识综合运用到解决一个实际问题中；可以鼓励学生参与社区服务或社区研究项目，将学习延伸到校园之外；可以要求学生写反思日记或维护个人博客，记录他们将课堂所学应用到日常生活中的体验…….通过将生活化的元素融入作业设计，学生不仅能够在解决实际问题中巩固和深化对数学知识的理解，还能够感受到数学的实用性和魅力，从而更加积极地学习和探索数学世界.

3.4 设置开放性的问题，让作业设计因开放性而“有理”

开放性习题通常没有固定答案，允许学生从不同角度进行思考和回答，因而具有思维的发散性、结论的不确定性、过程的探究性、情境的模拟性等特征.设置开放性的作业问题，注重问题探究，使作业的解决过程充满理性的科学精神，可以激发学生的创造性思维和批判性思考能力，有助于培养自主学习能力、创新精神和实践能力.本节中的数学文化类、实践应用类与设计分享类作业，有条件的学校可以以更开阔视角给学生提供实践、学习与研究的平台.比如，可以提供多样化的学习资源，如书籍、文章、视频、网站链接等，帮助他们从不同渠道获取信息；鼓励合作学习，组织小组讨论或项目合作，让学生在团队中交流想法，互相启发；引导批判性思考，教导学生如何评估信息的可靠性和有效性，培养他们的批判性思维；采用多元化的评价方式，如口头报告、论文、项目展示、同伴评价等，全面评估学生的学习成果；鼓励创新和实践，鼓励学生将所学知识应用到实际情境中，解决真实世界的问题.

3.5 注重数学文化的渗透，让作业设计因文化而“有魂”

通过作业进一步完善学科知识体系，这是学科知识之魂.将人类文明史等文化知识融入数学试题，使数学作业散发出文化味，发挥作业的育人功能和积极的导向作用，这是学科思政之魂.数学文化包括数学的历史、数学家的故事、数学在不同文化中的应用等等.本节作业设计中将三角测量知识与身边的经典建筑结合在一起，既有助于学生在实际问题中获得应用数学知识的实践探究，也在解决问题过程中感受人类经典建筑的魅力和自然的力量.可以这样认为，将数学文化融入数学作业之中，使得作业更有深度和灵魂，不仅可以帮助学生建立起对数学的全面认识，激发他们对数学的热爱，并且让他们意识到数学不仅仅是抽象的符号和公式，它还是人类文化的重要组成部分.这样的作业设计能够让数学学习变得更加生动有趣，同时也能够培养学生的文化素养和批判性思维能力.参考文献

[1]吴玉章．指向深度学习的高中数学作业设计探讨[J].中国数学教育：高中版，2022（12）：37．

[2]刘玉岳．课堂教学新主张[J].中学地理教学参考，2018（7）：1．

作者简介

朱贤良（1981—），男，安徽枞阳人，中学高级教师，基础教育省级教学成果一等奖获得者，市级“名教师”“学科带头人”“骨干教师”“教研先进个人”;主持完成三项省、市课题研究;发表教学研究论文130余篇，主编或参编教育教学图书10余部.

龙凤（1984—），女，湖南长沙人，中学高级教师，长沙市周南梅溪湖中学高中数学教研组长，省级优课奖获得者;多次获长沙市教育局“嘉奖”表彰，参与多项省市级课题研究;发表教育教学论文10余篇.