知识梳理建构彼此联系 思维导图呈现命题规律

【摘 要】 为加强对高考真题的再理解和再思考，通过对试题背景知识的梳理，知识间的联系挖掘，从而建立起知识间的思维导图，从具体实践中提炼出“知识梳理—建构联系—思维导图—依图命题”的四步命题法，成为命题实践的一次有益探索和方法创新.

【关键词】 真题；思维导图；函数与导数；命题

1 真题呈现

已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，记g（x）=f′（x），若f32-2x，g（2+x）是偶函数，则（" ）.

A．f（0）=0

B．g-12=0

C．f（-1）=f（4）

D．g（-1）=g（2）

这是2022年新高考全国Ⅰ卷第12题多选题，本题综合性强，涵盖了苏教版必修一函数的奇偶性（对称性）、必修二函数的周期性、选择性必修一的导数，且函数变换渗透其中，多块知识之间既彼此独立又相互联系.这道高考题研究的人不少，有围绕解法的，有围绕背景的.数学教育家波利亚说过，没有一道题可以解决的十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨和研究，总会有点滴的发现.再次揣摩此题，陆续产生了新的想法，我相信，时光虽已久远，经典永不过时.本文将换一个角度，在构建四者联系的基础上，提炼出思维导图的方法展示高考真题是如何生成的，为命题者提供命题思路，为教师揭示试题规律，为学生破解学习难点.

2 梳理知识，建构联系，独立到统一的进阶

为了直观扼要地展现高考真题产生的过程，摸清命题背景和规律，首先从系统性的知识梳理开始，分阶段地教好奇偶性、对称性的概念，双对称性确定周期的必然，原、导函数之间性质的联系，函数变换下性质的变化规律等，教学时站在整个高中阶段的视角，从独立的阶段铺设，再到统一的联系建构，基于概念、探究联系、灵活运用.

2.1 依托教材敢猜想，比较教学破对称

这类问题涉及多块知识，由于章节跨度长，转化难度大，尤其是函数对称性的概念是整条知识链较难的一环，其概念具有高度概括性，对学生的思维能力要求高，而且教材中并未作为独立的知识去研究学习，而是设计在必修一习题5.4第9题，以探究与拓展出现，要引起足够的重视.

设a为给定实数，函数f（x）的定义域为A，

（1）若对于任意x∈A，都有f（a-x）-f（a+x）=0，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由.

（2）若对于任意x∈A，都有f（a-x）+f（a+x）=0，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由^[1].

猜想1：对于（1），当a=0时，若对于任意x∈A，都有f（-x）-f（x）=0，该函数是偶函数，图象关于y轴对称.由此，猜想本题函数是轴对称函数，对称轴为x=a，拓展形式为f（2a-x）-f（x）=0.

猜想2：对于（2），当a=0时，若对于任意x∈A，都有f（-x）+f（x）=0，该函数是奇函数，图象关于原点对称.由此，猜想本题函数是中心对称函数，对称中心为（a，0），拓展形式为f（2a-x）+f（x）=0.

教学建议：数学学习过程中一切寻求未知、解决问题的活动都可以纳入探究活动范畴，各新版本教材以“思考”“问题与探究”等栏目形式，为探究活动提供了情境，教学时通过丰富的情境内容、科学的探究方法，发挥直觉作用^[2].教学时要依托教材设计，教科书发展到现阶段，已经从教师讲授为主的材料到关注学生学习的材料，教学时要让“教”材走向“学”材^[3]，基于学生知识的最近发展区，与函数奇偶性概念进行类比和比较教学，大胆运用猜想，教好函数对称性的概念，数学学习本质上是语言的学习^[4]，让学生形成良好符号语言和运用符号语言逻辑推理的能力，缺乏该段知识的有效教学，会导致学生知识基础不牢，知识体系不完整，教学时要做好阶段性的知识铺垫，为后期解决问题夯实基础.

2.2 联立方程再消元，对称性质通周期

教学时，关注性质之间的联系，紧扣函数对称性、周期性概念符号语言间的结构联系，如f（2a-x）-f（x）=0，f（2b-x）+f（x）=0，f（x+T）=f（x），形式虽然抽象，但都含有f（x），显示了概念之间必有联系，用联立方程组整合联系推得新的结论.教学时，充分用好整体思想、方程思想等，都有助于厘清彼此联系，建立畅通的转化路径，设计如下引导性问题展开探究.

（1）若函数f（x）关于直线x=a和直线x=b对称时，该函数是周期函数吗？

（2）若函数f（x）关于点（a，0）和点（b，0）对称时，该函数是周期函数吗？

（3）若函数f（x）关于直线x=a和点（b，0）对称时，该函数是周期函数吗？

教学建议：面对三个问题，引导学生将对称性符号化，通过方程组思想，消元后得到一个新关系，培养学生符号推理的能力.对于（1）由概念知，对任意x∈A，都有f（2a-x）-f（x）=0，f（2b-x）-f（x）=0，两式相减，得f（2a-x）=f（2b-x），代换得f（2a+x）=f2b+x，再次代换得，fx+2a-2b=f（x），故函数f（x）的一个正周期T=2a-b；同理，（2）中函数f（x）的一个正周期T=2a-b；（3）中函数f（x）的一个正周期T=4a-b.综上所述，当函数f（x）具有双对称性时，该函数为周期函数.运用方程组结合消元思想，培养学生数学建模、逻辑推理的素养，能在对称性概念、周期性概念的符号语言之间灵活转化，得到周期函数的判断方法，建起了双对称性与周期性的桥梁，为性质的综合应用打下基础.

2.3 函数变换巧借鉴，性质变化有章法

函数变换是函数重要的变化方式，引发的变化不仅仅是三要素，还有函数的对称性（含奇偶性）、周期性的变化，借鉴三角函数图象变换的认知储备，迁移到一般函数（如图1）.

2.4 函数导数可转化，性质之间相关联

复合函数导数公式是研究函数和导数性质关系的知识基础，引导学生发现原函数对称性、周期性概念在求导后仅发生细微的符号变化，形式仍满足基本性质的概念，让学生发现原函数与导函数在性质上依然保持着联系，该部分教学有利于增强学生对原函数和导函数关系的理解，可以在讲完复合函数的导数公式之后进行拓展延伸，得到相关结论.

结论1：若函数f（x）关于直线x=a对称，即f（2a-x）-f（x）=0，则-f′（2a-x）-f′（x）=0，有f′（2a-x）+f′（x）=0，该导函数f′（x）关于点（a，0）对称.反之，导函数f′（x）关于直线x=a对称，有f′（2a-x）-f′（x）=0，则-f（2a-x）+t1-f（x）+t2=0，函数f（x）不一定关于点（a，0）对称.

结论2：若函数f（x）关于点（a，0）对称，即f（2a-x）+f（x）=0，则-f′（2a-x）+f′（x）=0，该导函数f′（x）关于直线x=a对称.反之，导函数f′（x）关于点（a，0）对称，有f′（2a-x）+f′（x）=0，则-f（2a-x）+t1+f（x）+t2=0，函数f（x）不一定关于直线x=a对称.

结论3：若函数f（x）的一个正周期为T，即f（x+T）=f（x），则f′（x+T）=f′（x），该导函数f′（x）的一个正周期仍为T.反之，若导函数f′（x）的一个正周期为T，即f′（x+T）=f′（x），则f（x+T）+t1=f（x）+t2，该函数f（x）的一个正周期不一定为T.

综上，原函数的性质确定时，导函数性质表现为对称性交换、周期性不变的规律.

3 思维导图，双线转化，知识到真题的生成

在上述一系列知识梳理和融合联系的过程中，结合开篇那道高考题，笔者发现周期是核心条件，但题干中只字未提，而是将周期分解成双对称性，再通过函数变换又转化为奇偶性，每一次分解和转化，都衍生出相应的充分条件，用终端节点设计题干，过程节点设计选项，参悟出思维导图的命题方式（图2）.基于周期性为起点，以对称性为媒介，原函数与导函数性质的变化规律为延伸，渗透函数变换，系统研究问题的来龙去脉，打通转化通道，发现命题规律，生成思维导图，构建思维导图要注意转化前后条件关系的充分性还是必要性（准确使用单向或双向箭头，以免在命题时出现逻辑错误）.

思维导图中，一方面，反映出如何将周期逐步分解为两个对称性，再将两个对称性分别通过函数变换和导数的形式进一步隐藏及性质泛化，以导图终端③和⑧作为高考题的题干.另一方面，借助图中的每一个结点设计选项，且抽象函数的选项主要围绕定点、对称性、周期性等，对于函数g（x）而言，由④知对称中心或定点32，0，由②知g（x）关于直线x=2对称，由①知g（x）周期为2，得函数g（x）经过定点32，0，故设计选项g32=0，再结合①的周期T=2，得g-12=0就是高考题的B选项；结合周期性g（-1）=g（1）≠g（2）就是高考题的D选项；对于函数f（x）而言，由⑤知关于直线x=32对称，故设计f（-1）=f（4）为高考题C选项；由⑤知f（x）只是轴对称图象，定点性质不一定存在，故高考题A选项f（0）=0为干扰选项.故答案选BC.

4 命题实践

本文的探究源于2022年新高考Ⅰ卷一道抽象函数背景的多选压轴题，考查数学抽象、逻辑推理等核心素养，结合研究成果，先构建思维导图（图3），轻松地设计了试题.

原创：已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）是偶函数，f2x+2是偶函数，且f32=1，则（" ）.

A．f-32=1

B．函数f（x）的一个周期为2

C．f-x+2是奇函数

D．若f（1）=2，则f32＞f（2）

命题思路解读：

第一步，构建思维导图.设定周期T=2，为区别高考题将周期分解为双轴对称性，此时函数缺乏中心对称，即函数将缺少定点，故设定f32=1，由于高一学生还未学导数，故只借助变换将对称性转换成奇偶性.

第二步，设定题干选项.以③和⑦与定点为题干，即“已知函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）是偶函数，f2x+2是偶函数，且f32=1”.由②对称性结合f32=1，可得f12=1，再结合①周期性得f-32=1，即设计为选项A；根据①周期设计选项B；根据⑥设计选项C；D选项中，想在高考题的基础上增加单调性的判断，增加条件f（1）=2，误导学生认为f（1）＞f32，那么函数在两对称轴之间x∈1，2是单调递减的，尤其是用特例三角函数去模拟的时候，更会误以为此时f32＞f（2），实际上，两对称轴之间的图象只确定过一个定点，未确定单调性.故答案：ABC.

5 总结感悟

以课标为引领，教材为依托，高考真题为载体，教师通过对试题的研究，建立知识体系，用思维导图直观呈现知识联系，明晰命题的路径^[5].从具体实践中提炼出“知识梳理—建构联系—思维导图—依图命题”的四步命题实践的一次有益探索和方法创新.

参考文献

[1]普通高中教科书·数学必修第一册[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.5.

[2]端木彦，朱婷婷.深化数学探究，涵养理性思维[J].数学通报，2023（12）：19-23.

[3]李善良.教科书：从“教”材到“学”材[J].中学数学月刊，2019（8）：1-4.

[4]何睦.指向核心素养的高中数学“预备知识”的教学思考[J].中学数学月刊，2023（5）：20-23.

[5]潘竹树.借助几何直观，培养关键能力：以2022年中考几何直观试题为例[J].中学数学月刊，2023（4）：66-69.

作者简介

张峰（1983—），男，江苏省盐城市人，中学高级教师；研究方向为高中数学教学.

王笋（1985—），男，江苏省盐城市人，高级教师；研究方向为高中数学教学；有多篇论文发表.