一类二次曲线中三角形面积最值问题的探究

【摘 要】 通过对一道山东省百师联盟2025届高三开学摸底联考试题的探究，得到在椭圆、圆和双曲线中5个相关的三角形面积最值命题.【关键词】 椭圆；双曲线；圆；三角形；面积；最值

平面解析几何的两个主要任务是：（1）研究轨迹类型和求轨迹方程；（2）运用代数方法研究直线与曲线的位置关系和相关性质，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想^[1].本文通过对一道山东省百师联盟2025届高三开学摸底联考试题的探究，得到在椭圆、圆和双曲线中5个相关的三角形面积最值命题.

1 试题呈现

试题 在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且AB=2，动点T满足OT=OA+32OB.

（1）求动点T的轨迹C的方程；

（2）已知直线l：x=my+1与曲线C相交于M，N两点，直线l′：x=4，过点M作MD⊥l′，垂足为D，设点O为坐标原点，求△OND面积的最大值.

答案 （1）x24+y23=1;（2）154.

这是一道山东省百师联盟2025届高三开学摸底联考试题，以两点间距离和向量间的关系为背景.第（1）问考查轨迹方程的求法；第（2）问求三角形面积的最大值.解答试题需要有较强的探索能力、创造性解决问题的能力，对于直观想象、数学运算、逻辑推理等学科素养有较高的要求.

2 试题推广

注意到试题中直线l：x=my+1过椭圆的右焦点，直线l′为相应的右准线，启发我们思考试题对于一般的椭圆，三角形面积的最大值结果如何？

命题1 在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）中，过右焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，过A作椭圆C的右准线l的垂线，垂足为D，O为坐标原点，离心率为e，则（1）若0＜e≤22，当AB⊥x轴时，△OBD的面积取最大值且最大值为（1+e2）b22e；

（2）若22＜e＜1，当直线AB的斜率为±1－e22e2－1时，△OBD的面积取最大值且最大值为（1+e2）ab4e2.

证明 如图1，设椭圆的半焦距为c，右准线l与x轴交于E，直线BD与x轴交于M，作直线BG⊥l，垂足为G，则AD∥FE∥BG.由题意得F（c，0），l的方程为x=a2c.由椭圆的第二定义得，AF=eAD且BF=eBG.由FMAD=BFAB得，FM=ADBFAB=AFBFeAB.由EMBG=MDBD=AFAB得，EM=AFBGAB=AFBFeAB，所以FM=EM，M为线段FE的中点，且M12c+a2c，0.

设过F的直线方程为x=my+c，交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+c，b2x2+a2y2-a2b2=0，消去x得，（a2+m2b2）y2+2cmb2y－b4=0，则y1+y2=－2cmb2a2+m2b2，y1y2=－b4a2+m2b2，且Δ=4a2b4（m2+1）＞0.从而y1－y2=（y1+y2）2－4y1y2=2ab2m2+1a2+m2b2，进而S△OBD=S△OMD+S△OMB=12OMy1－y2=12×12c+a2c×2ab2m2+1a2+m2b2=ab2（a2+c2）m2+12c（a2+m2b2）.

设m2+1=t（t≥1），则S△OBD=ab2（a2+c2）t2c（c2+b2t2）=a（a2+c2）2ct+c2b2t.

（1）若0＜e≤22，cb≤1，当t=1即m=0时，也即当AB⊥x轴时，△OBD的面积取最大值且最大值为ab2（a2+c2）2c（c2+b2）=（1+e2）b22e；

（2）若22＜e＜1，cb＞1，当t=cb即m=±c2－b2b时，也即直线AB的斜率为±bc2－b2=±1－e22e2－1时，△OBD的面积取最大值且最大值为（1+e2）ab4e2.

命题2 在双曲线C：x2a2－y2b2=1（a，b＞0）中，过右焦点F的直线交双曲线C的右支于A，B两点，过A作双曲线C的右准线l的垂线，垂足为D，O为坐标原点，离心率为e，则当AB⊥x轴时，△OBD的面积取最小值且最小值为（1+e2）b22e.

证明 设双曲线的半焦距为c，右准线l与x轴交于E，直线BD与x轴交于M，作直线BG⊥l，垂足为G，则AD∥EF∥BG.由题意得F（c，0），l的方程为x=a2c.由双曲线的第二定义得AF=eAD且BF=eBG.由FMAD=BFAB得，FM=ADBFAB=AFBFeAB.由EMBG=MDBD=AFAB得，EM=AFBGAB=AFBFeAB，所以FM=EM，M为线段FE的中点，且M12c+a2c，0.

设过F的直线方程为x=my+c，交双曲线于A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+c，b2x2-a2y2-a2b2=0，消去x得，（a2－m2b2）y2－2cmb2y－b4=0，a2－m2b2≠0，y1+y2=2cmb2a2－m2b2，y1y2=－b4a2－m2b2，且Δ=4a2b4（m2+1）＞0.因为A，B为双曲线右支上两点，所以1m＞ba或m=0，即a2－m2b2＞0或m=0.由y1－y2=（y1+y2）2－4y1y2=2ab2m2+1a2－m2b2=2ab2m2+1a2－m2b2.S△OBD=S△OMD+S△OMB=12OMy1－y2=12×12c+a2c×2ab2m2+1a2－m2b2=ab2（a2+c2）m2+12c（a2－m2b2）.

设m2+1=t（t≥1），则S△OBD=ab2（a2+c2）t2c（c2－b2t2）=a（a2+c2）2cc2b2t－t.所以当t=1即m=0时，△OBD的面积取最小值且最小值为（1+e2）b22e.

3 试题再推广

进一步思考，对于椭圆，若将焦点和相应的准线改为坐标轴上的点P（t，0）（0＜t＜a）和相应的直线l：x=a2t，结论如何？

命题3 在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）中，过点P（t，0）（0＜t＜a）的直线交椭圆C于A，B两点，过A作直线l：x=a2t的垂线，垂足为D，O为坐标原点，则（1）若0＜t≤2a2，当AB⊥x轴时，△OBD的面积取最大值且最大值为b（a2+t2）a2－t22ta；

（2）若2a2＜t＜a，当直线AB的斜率为±b2t2－a2时，△OBD的面积取最大值且最大值为ab（a2+t2）4t2.

证明 设椭圆的半焦距为c，直线l与x轴交于Q，直线BD与x轴交于M，线段PQ的中点为E.设过P的直线方程为x=my+t，交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），则Da2t，y1.由x=my+t，b2x2+a2y2-a2b2=0，消去x得，（a2+m2b2）y2+2tmb2y+t2b2－a2b2=0，则y1+y2=－2tmb2a2+m2b2，y1y2=t2b2－a2b2a2+m2b2，且Δ=4a2b2（a2+m2b2－t2）＞0.从而y1－y2=（y1+y2）2－4y1y2=2aba2+m2b2－t2a2+m2b2.

由Et+a2t2，0和B（my2+t，y2）得，ED=a2t－t+a2t2，y1=a2－t22t，y1，EB=my2+t－t+a2t2，y2=2mty2+t2－a22t，y2.则ED∥EB2mty2+t2－a22t·y1=a2－t22t·y2（a2－t2）（y1+y2）=2tmy1y2.将y1+y2=－2tmb2a2+m2b2，y1y2=t2b2－a2b2a2+m2b2代入上式知等式成立，则D，E，B三点共线，从而点M与点E重合，则Mt+a2t2，0.所以S△OBD=S△OMD+S△OMB=12OMy1－y2=12×12t+a2t×2aba2+m2b2－t2a2+m2b2

=ab（a2+t2）a2+m2b2－t22t（a2+m2b2）.

设a2+m2b2－t2=n（n≥a2－t2），则S△OBD=ab（a2+t2）n2t（n2+t2）=ab（a2+t2）2tn+t2n.

（1）若0＜t≤2a2，a2－t2≥t，当n=a2－t2即m=0时，也即当AB⊥x轴时，△OBD的面积取最大值且最大值为b（a2+t2）a2－t22ta；

（2）若2a2＜t＜a，a2－t2＜t，当a2+m2b2－t2=t时，即m=±2t2－a2b时，也即直线AB的斜率为±b2t2－a2时，△OBD的面积取最大值且最大值为ab（a2+t2）4t2.

注：读者可以类似给出点P在y轴时的结论和证明.

命题4 在圆C：x2+y2=r2（r＞0）中，过点P（t，0）（0＜t＜r）的直线交圆C于A，B两点，过A作直线l：x=r2t的垂线，垂足为D，O为坐标原点，则

（1）若0＜t≤2r2，当AB⊥x轴时，△OBD的面积取最大值且最大值为（r2+t2）r2－t22t；

（2）若2r2＜t＜r，当直线AB的斜率为±r2t2－r2时，△OBD的面积取最大值且最大值为（r2+t2）r24t2.

命题4可以参考命题3的证明过程给出证明，过程从略.

命题5 在双曲线C：x2a2－y2b2=1（a，b＞0）中，过点P（t，0）（t＞a）的直线交双曲线C于A，B两点，过A作直线l：x=a2t的垂线，垂足为D，O为坐标原点，则当AB⊥x轴时，△OBD的面积取最小值且最小值为b（a2+t2）t2－a22ta.

命题5可以参考命题3和命题2的证明过程给出证明，过程从略.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.5.

作者简介 刘才华（1969—），男，山东宁阳人，中学高级教师；从事试题研究和初等数学研究；发表文章300余篇.