基于核心素养的中考图形与几何复习课的教学实施策略

2025-02-03杨雪李舒宇

中国数学教育(初中版) 2025年1期

摘" 要：几何综合问题主要考查学生的几何知识与技能、几何直观素养和逻辑推理素养的综合运用，对学生的能力有着较高的要求. 以九年级“探究几何综合问题的解题策略”专题复习课为例，探讨以提升学生数学核心素养为目标的图形与几何复习课的单元教学实施策略.

关键词：数学核心素养；单元教学；几何综合问题；教学策略

中图分类号：G633.6" " " 文献标识码：A" " " 文章编号：1673-8284（2025）01-0016-06

引用格式：杨雪，李舒宇. 基于核心素养的中考图形与几何复习课的教学实施策略［J］. 中国数学教育（初中版），2025（1）：16-21.

九年级学生已经学习了图形与几何部分的基础知识，初步掌握了初中几何图形的一般研究方法，但是对于许多学生来说，解决几何综合问题仍是巨大的挑战，需要学生能够基于图形与几何的核心概念，把握图形变换，展开直观想象，进行严谨的逻辑推理，规范表述作答等. 为此，开展有效的复习是提升学生解题能力、发展数学核心素养的必要措施.

一、研究背景

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中指出，在具体现实情境中，学会从几何的角度发现问题和提出问题，经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，培养应用意识和创新意识，提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等. 学业水平考试中的几何综合问题突出对学生几何学习的综合考查.“四基”层面，该部分内容主要考查图形的性质与变化的基础知识、画图与表达的基本技能、类比与转化的思想方法、分析与解决问题的基本活动经验；能力层面，以知识的形成、发展和灵活应用的思维考查为主；素养层面，主要考查学生的推理能力和几何直观素养.

实践表明，在九年级图形与几何复习课的教学中，教师容易陷入做题、刷题的“套路”中，忽略了对几何图形整体性的研究，使学生的主要精力用在了解题上，导致复习效率低、学生能力提升慢. 如何在九年级图形与几何复习阶段实施有效的教学策略，发展学生的数学核心素养，提升学生解决问题的能力？带着这样的问题，以“探究几何综合问题的解题策略”为例，对图形与几何复习课的单元教学策略进行探讨.

二、研究计划

九年级学生解决几何综合问题的困境在于缺少对图形整体和局部核心元素（线段、角）之间的逻辑关系的思考和用运动变化的眼光分析问题的能力. 因此，计划开展单元复习，通过复习核心概念，理解研究图形的一般思想方法，经历分析和解决几何综合问题的过程，获得解决几何综合问题的一般化策略和具象化展现，提升学生的几何直观和推理能力等素养.

三、单元教学实践

1. 课前诊断，明确复习专题

题目" 如图1，在△ABC中，[AB=AC，][ ∠BAC=α]，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转[α]得到线段AE，连接[BE，DE.]

[图1]

（1）比较[∠BAE]与[∠CAD]的大小；用等式表示线段[BE，BM，MD]之间的数量关系，并证明.

（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.

课前诊断表明，全班40名学生均能正确作图（如图2），但38名学生没有完成第（2）小题中数量关系的证明，其中17名学生尝试添加辅助线但未成功证明，12名学生表示完全没有解题思路. 基于此，确定了该专题亟待解决的问题是获得几何综合问题的解决策略.

[图2]

2. 根据学情制订单元教学计划

具体教学计划如表1所示.

3. 初次实施教学存在的问题和改进措施

初次授课时，由于课堂时间有限，学生重在解题，导致从几何图形研究的一般方法的角度分析、对比解法获得策略等思维活动落实不足，课堂学习活动单一，同类习题解决程度也没有明显的提升.

为了充分开展重点学习活动，提升课堂教学效率，将问题前置，课上重在落实经历分析问题、寻求思路过程、总结方法、应用方法解决问题、对比分析角度的一致性和区别性、形成解决策略等核心思维活动.

4. 改进后的教学实践

课例1：有序分析，获得思路.

作为单元起始课，本节课重在引领学生从整体到局部、从静止到动态地观察图形. 该研究方法与初中阶段几何图形的研究逻辑具有一致性，在专题中起到提纲挈领的作用. 将上述方法应用在几何综合问题的分析中，寻找解题思路，是帮助学生解决问题的方法论.

该节课中，通过问题链引导学生分别从“整体观察图形（如图1）之间的关系（问题1，问题2）”“结合分析局部关键要素（问题3）”“关注图形的动态变化（问题4，问题5）”三个方面有序观察、有逻辑地思考.

问题1：结合所给条件和所求结论，仔细观察图中有哪些特殊的图形？

问题2：哪些三角形是全等的？哪些三角形是相似的？

问题3：哪个或哪些要素具有特殊的位置关系或数量关系？

问题4：图形经历了什么变换？该变换的性质有哪些？能得到什么结论？

问题5：图形的生成过程中哪些要素之间建立了新的联系？补图的过程中产生了什么要素？

各小组成员先自主思考，再合作交流，得到了以下证明思路.

思路1：由N是DE的中点. 关注到BA是∠EBC的平分线，所作[MN⊥AB]，利用对称型全等构造中位线模型（如图3）或“8字形”全等（中心对称）模型（如图4和图5）完成证明.

[图3] [图5] [图4]

思路2：从结论倒推，尝试连接[AM，AN]，观察到隐藏工具圆，通过推导角之间的关系，可证得[A，N，][M，D]四点共圆（如图6），或者观察到[△AFD∽△NFM，] 可证得[△AFN∽△DFM]（如图7），进而完成证明.

[图6] [图7]

课后各小组完成了证明，发现了添加辅助线构造“8字形”全等或相似三角形的其他方法，达到了预设目标.

课例2：迁移经验，巩固方法.

经历对题目第（2）小题的变式问题的解决，引导学生从一般到特殊地研究几何图形，通过作图直观感受运动变化中的不变关系，关注特殊位置和数量关系，在解决问题过程中有机把握条件和结论间的逻辑关系. 直观感受、展开联想，有效分析、有逻辑地思考，是提升素养的关键.

变式1：改变点D的位置，当点D在线段BM上时，其他条件不变，结论是否仍然成立？当点D在MC的延长线上时，结论是否仍然成立？

学生一改畏难情绪，有效迁移了课例1中的研究经验和解题思路，顺利解决了问题. 此处仅展示四点共圆法的证明思路，如图8和图9所示.

[图8][图9]

变式2：若[α=90°]，[AB=2]，当点D在线段BC上运动时，求线段ED的最小值和最大值. 你还能找到哪些线段的最值？

将角特殊化后，引起了图形背景的特殊化，以及数量关系和位置关系的特殊化. 学生通过作图（如图10），可以直观感知运动变化中线段长度的变化.

[（a）] [（b）] [（c）] [（d）] [（e）][图10]

学生在改编试题时，提出了“当点D在CB延长线上运动”“交换条件和结论”“将[α]改为120°或60°”等方案，通过对图形的变化进行深入挖掘，确定了点E、点N及AD中点（隐藏圆的圆心）的运动轨迹. 在创编和探索的过程中，通过实验、操作和观察图形，在运动中寻求变与不变的关系.

课例3：对比归纳，形成策略.

在课堂上，通过对北京市丰台区、朝阳区、海淀区近两年学业水平考试模拟卷中类似的几何综合题进行深入分析与探讨，学生从背景图形的特征、图形的构建过程、图形整体与局部元素之间的关系，以及从动静态结合的视角出发，运用分析法和综合法，结合演绎推理与逻辑推理等策略，深入思考并归纳出解决问题的思路.

课后，学生生成思维导图形式的解题策略，如图11所示.

5. 实施效果

知识获得：经历该专题的复习课后，学生应用几何图形的一般研究经验获得了分析几何综合问题的思路，巩固了分析几何综合问题的方法，对比了强关联问题的解决思路，凝练生成了解题策略.

解题能力：根据表2中的数据，发现学生解决几何综合问题的正确率有所提升，特别是对第（2）小题毫无解题思路的学生明显减少，说明学生分析、解决同类几何综合问题的能力得到了提升.

情感态度：从复习课前的面露难色到复习课后心态平稳、大胆尝试，学生的心态产生了明显转变，并摸索出了“旋转变换一出现，边角要素都要看”“角平分线构造轴对称全等”“由中点联想‘8字形’全等、中位线”“共圆虽简单，围绕圆周看条件”“由特殊图形想性质、想变换、想模型”等心得体会.

四、教学反思

1. 关注课前诊断

通过访谈、问卷调查、作业分析及课前检测等多种方式，能够深入了解学生当前的认知水平，并与预期目标水平进行比较，从而精准识别两者之间的差距. 对学生真实学习情况的全面掌握，能够使教师精准定位教学中的难点. 正是基于这样的课前诊断，才能制订出更具针对性的复习策略，从而确保复习课的效果达到最佳. 因此，重视并充分利用课前诊断，是开展高质量复习课的关键.

2. 关注思维的内化和外显

基于布鲁姆教育目标分类法，我们精心设计了各课时内容，旨在探究几何综合问题的解决策略. 该策略的核心在于提炼、应用、归纳、比较和重构几何思想方法，逐步提升学生的认知层次和思维能力.

通过构建问题链，引导学生提取研究几何图形的经验. 在此过程中，学生将学会运用有序观察和展开推理的方法，构建解题思路，形成初步的问题解决策略.

通过对例题进行变式，实现一图多变. 借助信息技术的演示，能够使学生直观观察到几何图形的变化，从静态到动态地感受变化中的不变性，帮助学生构建用运动变化的眼光观察几何图形的方法，提升其空间感知和抽象思维能力.

通过实践应用分析方法，解决同类题. 在此过程中，学生要学会迁移和内化所学知识，将理论知识转化为实际解题能力，实现对知识的深度理解和灵活应用.

通过横向对比同类题，学生将分解解题过程，聚焦分析要点，感受通性通法. 同时，利用图表外显思维过程，能够帮助学生构建解题策略，形成系统的解题方法和技巧.

3. 关注策略的结构化

基于几何图形的研究经验，结构化的解题策略具有可迁移性和延展性，有助于学生解决几何综合问题. 该策略不仅能够提升学生的解题能力，还能为学生的全面发展提供有力支持，具体如表3所示.

五、教学建议

1. 坚持素养提升目标：深化几何直观与逻辑推理能力

复习课在学生的学习中占有举足轻重的地位，尤其在图形与几何内容的学习中，不仅是巩固知识的关键环节，更是提升学生几何直观和推理能力的重要途径. 通过复习，学生可以重新审视和深化对几何概念、原理的理解，进一步锻炼几何直观和逻辑推理能力.

（1）几何直观素养的提升.

在复习课中，教师应着重培养学生的画图基本功，确保学生能够准确、快速地绘制几何图形. 此外，教师还应该引导学生把握几何图形的运动变化规律，通过观察实物模型，利用多媒体辅助工具进行模拟，以及亲自动手操作等方式，帮助学生形成对几何图形的直观感知. 同时，引导学生从“数”和“形”两个角度全面分析几何图形，深化对几何图形的理解.

（2）逻辑推理素养的提升.

逻辑推理是几何学习中的一项核心能力. 在复习课中，教师应着重培养学生的逻辑思维能力，引导学生学会观察图形的整体结构，分析图形或要素间的关系，以及通过构图联想图形变换. 此外，教师还可以结合具体题目，指导学生如何运用基本图形展开推理，从而逐步提升学生的逻辑推理能力.

2. 把握单元整体建构：深化几何复习课的教学

在几何复习课中，单元整体建构的重要性不容忽视. 为了有效提升学生的数学核心素养，需要从多个方面系统规划和设计复习教学内容.

（1）系统复习，打好基础.

教师要确保学生对“图形与几何”领域的基础知识有清晰的认识. 通过梳理和回顾，帮助学生巩固基础知识，形成完整的知识体系. 其中，核心图形和几何变换的知识是关键，有助于学生更加深入地理解几何图形的本质.

通过例题和习题巩固基础知识，不仅能帮助学生更好地应用所学知识，还能提升学生的解题能力. 在此过程中，强调数学语言的规范使用也是非常重要的，有助于培养学生的严谨思维和表达能力.

（2）厘清问题逻辑，构建单元结构.

在进行单元设计时，教师需要把握几何学习的整体研究主线，确保各部分内容间的逻辑关联，这有助于学生形成结构化的知识体系，使思想方法更加系统化、解题策略更加一般化.

具体课时中的教学内容应以问题为导向，通过设计具有思维提升价值的问题，引导学生进行深入探究，利用可视化的工具来呈现思维过程，使学生更加直观地理解几何概念和原理.

（3）强化解题训练，注重实践应用.

解题训练是提升学生几何学习能力的关键环节. 通过对精选的典型例题和习题进行讲解和训练，可以帮助学生掌握解题技巧和方法. 鼓励学生尝试一题多解、一题多变、一图多用，有助于学生拓展思维，提升解题能力. 同时，教师还应注重提升学生的实践应用能力，将几何知识与现实问题相结合，让学生感受几何知识的实用性和趣味性. 这不仅能增强学生的学习兴趣，还能培养学生的创新能力和解决问题的能力.

3. 注重学生反馈和评价：有效诊断学生的学习情况

在几何复习课的教学过程中，为了有效诊断学生的学习情况，需要采取一系列的策略和方法.

（1）及时收集与分析学生的作业和测试情况.

为了准确掌握学生的数学基础知识、基本技能、数学思想方法及基本活动经验的达成水平，教师需要及时收集学生的作业和测试情况并进行分析. 通过分析数据，教师可以诊断出学生在哪些方面存在错误或困难，从而进行有针对性地讲解和个别辅导.

（2）针对性讲解与个别辅导相结合.

根据学生的作业和测试情况，教师需要准备具有针对性的讲解内容. 对于普遍存在的问题，可以在课堂上进行集体讲解；对于个别学生的特殊困难，可以进行针对性辅导，以确保每名学生都能得到适合的帮助和指导.

（3）鼓励学生自我评价与反思.

为了提高学生的自主学习能力，教师需要鼓励学生进行自我评价和反思. 学生可以通过回顾学习过程、分析自己的错误和困难，找出自己的不足并制订改进计划. 同时，高阶思维的调动也能帮助学生深入理解和应用知识.

（4）教师中肯评价与内外合力驱动.

教师的评价对学生的学习和发展具有重要影响. 教师需要给出中肯的评价，帮助学生认识自身存在的客观问题，并提出具体的改进建议. 同时，教师还需要与家长和其他教师合作，形成内外合力，使学生在学习和实践中不断发展数学核心素养.

通过系统复习、厘清问题逻辑、对比同类问题，以及注重学生反馈和评价等方式，有助于教师更有效地提升学生解决几何综合题的能力，发展学生的数学核心素养，为他们理性思维的发展奠定坚实的基础.

参考文献：