一类三角求值问题的探究

摘" 要：文章对两道结构相似的三角求值试题进行探究，从不同的角度给出四种解法，并对试题进行拓展探究，得到相应的变式与推广，揭示此类问题的本质.

关键词：三角求值；强基计划；加权平均不等式；变式与推广

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0023-04

收稿日期：2024-05-05

作者简介：林国红（1977—），男，广东省佛山人，中学高级教师，从事中学数学教育研究.

三角函数是高中数学的一个重要模块，其中的三角求值问题常涉及到三角公式的考查，并常与其他模块的知识结合，这些在培养思维的灵活性等方面起到重要作用.因此三角求值问题也成为高考、强基计划的一个考查热点，常考常新.

本文对两道结构相似的三角求值试题进行分析，呈现此类试题的解法，并作拓展探究，供大家参考.

1" 两道三角求值试题

试题1" （《数学教学》第1144号题）已知锐角α，β满足sin5αsin3β+cos5αcos3β=1，求证：sin5βsin3α+cos5βcos3α=1.

试题2" （2023年南京大学强基计划试题第4题）sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，则sin4βsin2α+cos4βcos2α=.

2" 试题的解法探究

下面以试题1为例进行解答.

证法1" （均值不等式）因为sin5αsin3β+cos5αcos3β=1，由均值不等式，得

5=sin5αsin3β+sin5αsin3β+sin2β+sin2β+sin2β+cos5αcos3β+

cos5αcos3β+cos2β+cos2β+cos2β

≥55sin5αsin3β·sin5αsin3β·sin2β·sin2β·sin2β+

55cos5αcos3β·cos5αcos3β·cos2β·cos2β·cos2β

=5（sin2α+cos2α）

=5.

当且仅当sin5αsin3β=sin2β，cos5αcos3β=cos2β时等号成立，得

sinα=sinβ，cosα=cosβ， 且α，β为锐角.

故α=β.

所以sin5βsin3α+cos5βcos3α=sin5βsin3β+cos5βcos3β

=sin2β+cos2β=1.

评注" 利用均值不等式求最值是高中数学常用方法之一，若要用均值不等式求几个正数和的最小值，关键在于构造条件使其积为常数，通常是通过“拼凑”的方法进行构造［1］.

证法2" （权方和不等式）由权方和不等式，得

1=sin5αsin3β+sin5αsin3β

=（sin2α）52（sin2β）32+（cos2α）52（cos2β）32

≥（sin2α+cos2α）52（sin2β+cos2β）32=1，

当且仅当sin2αsin2β=cos2αcos2β时，等号成立.

又因α，β为锐角，故sinαsinβ=cosαcosβ.

所以tanα=tanβ.

所以α=β.

所以sin5βsin3α+cos5βcos3α=sin5βsin3β+cos5βcos3β

=sin2β+cos2β

=1.

评注" 权方和不等式是数学中一个很常用的不等式，其形式简洁，结构漂亮，可用于处理分式不等式求最值、证明不等式等方面，合理使用权方和不等式可以避免不等式放缩过程中许多技巧性很强的凑配.

证法3" （构造函数法）设sinα=x，因为α为锐角，故x∈（0，1）.

令f（x）=x5sin3β+（1-x2）52cos3β，x∈（0，1），则

f ′（x）=5x［x3sin3β-（1-x2）3cos3β］

=5x（xsinβ-1-x2cosβ）［（xsinβ）2+xsinβ·1-x2cosβ+（1-x2cosβ）2］.

设g（x）=xsinβ-1-x2cosβ，

因为xsinβ，-1-x2cosβ在（0，1）上单调递增，

故g（x）在（0，1）上单调递增，且g（sinβ）=0.

故当0lt;xlt;sinβ时，g（x）lt;0；

当sinβlt;xlt;1时，g（x）gt;0，

且有（xsinβ）2+xsinβ·1-x2cosβ+（1-x2cosβ）2gt;0.

所以当0lt;xlt;sinβ时，f ′（x）lt;0；

当sinβlt;xlt;1时，f ′（x）gt;0，

从而f（x）在（0，sinβ）上单调递减，在（sinβ，1）上单调递增.

于是f（x）≥f（sinβ）=1，当且仅当x=sinβ时，f（x）=1，故有sinα=sinβ，且α，β为锐角，即得α=β.

所以sin5βsin3α+cos5βcos3α=sin5βsin3β+cos5βcos3β

=sin2β+cos2β

=1.

评注" 解法3利用换元构造相应的函数，再利用导数法求最值，方法巧妙，并且可以增强知识之间的融会贯通，拓展知识面，对提高解题能力和培养创新意识具有重要意义［2］.

证法4" （加权均值不等式）因为α，β为锐角，

所以sinαgt;0，cosαgt;0，sinβgt;0，cosβgt;0.

由加权均值不等式，得

sin4α4+34sin4β≥（sin4α）

1/4·（sin4β）3/4

=sinαsin3β.

于是sin4α+3sin4β≥4sinαsin3β.

从而sin4αsin3β+3sinβ≥4sinα.

即sin4αsin3β≥4sinα-3sinβ.

所以sin5αsin3β≥4sin2α-3sinαsinβ.①

同理，可得cos5αcos3β≥4cos2α-3cosαcosβ.②

①②两式相加，得

sin5αsin3β+cos5αcos3β≥4-3cos（α-β）

=4-3［1-2sin2（α-β）2］

=1+6sin2（α-β）2.

又因为1=sin5αsin3β+sin5αsin3β，

所以6sin2（α-β）2=0.

因为α，β为锐角，故得α=β.

所以sin5βsin3α+cos5βcos3α=sin5βsin3β+cos5βcos3β

=sin2β+cos2β

=1.

评注" 加权均值不等式：设aigt;0，pigt;0，i=1，2，…，n，则

ap11ap22…apnn≤（p1a1+p2a2+…+pnanp1+p2+…+pn）p1+p2+…+pn.

当p1+p2+…+pn=1时，加权均值不等式变为ap11ap22…apnn≤p1a1+p2a2+…+pnan；当p1+p2+…+

pn=1n时，加权均值不等式变为na1a2…an≤a1+a2+…+ann，即是常见的均值不等式.

3" 问题的拓展探究

3.1" 试题的变式

变式1" 已知锐角α，β满足sin5βsin3α+cos5βcos3α=1，求证：sin5αsin3β+cos5αcos3β=1.

变式2" （试题2的改编）已知锐角α，β满足sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，求证：sin4βsin2α+cos4βcos2α=1.

变式3" （试题2的改编）已知锐角α，β满足sin4βsin2α+cos4βcos2α=1，求证：sin4αsin2β+cos4αcos2β=1.

3.2" 试题的推广

推广1" 已知n∈N*，锐角α，β满足sin2n+3αsin2n+1β+cos2n+3αcos2n+1β=1，求证：sin2n+3βsin2n+1α+cos2n+3βcos2n+1α=1.

推广2" 已知n∈N*，锐角α，β满足sin2n+2αsin2nβ+cos2n+2αcos2nβ=1，求证：sin2n+2βsin2nα+cos2n+2βcos2nα=1.

推广3" 已知kgt;0，锐角α，β满足sink+2αsinkβ+cosk+2αcoskβ=1，求证：sink+2βsinkα+cosk+2βcoskα=1.

推广4" 已知kgt;0，tgt;0，锐角α，β满足sink+2αsinkβ+cosk+2αcoskβ=1，求证：sint+2βsintα+cost+2βcostα=1.

由于推广4更具广泛性，下面只需给出推广4的证明.

证明" 由权方和不等式，得

1=sink+2αsinkβ+cosk+2αcoskβ

=（sin2α）k+22（sin2β）k2+（cos2α）k+22（cos2β）k2

≥（sin2α+cos2α）k+22（sin2β+cos2β）k2=1，

当且仅当sin2αsin2β=cos2αcos2β时，等号成立.

又因α，β为锐角，故sinαsinβ=cosαcosβ.

所以tanα=tanβ.

所以α=β.

所以sint+2βsintα+cost+2βcostα=sint+2βsintβ+cosk+2βcostβ

=sin2β+cos2β

=1.

3.3" 试题的进一步探究

由前述证法可知，当且仅当α=β时，sin5αsin3β+cos5αcos3β有最小值1.

思考问题：已知kgt;0，α，β为锐角，记sink+2αsinkβ+cosk+2αcoskβ的最小值为M，则M的取值范围是什么？

解析" 因为α，β为锐角，所以sinαgt;0，cosαgt;0，sinβgt;0，cosβgt;0，且-π4lt;α-β2lt;π4.

由加权均值不等式，得

sink+1αk+1+kk+1sink+1β

≥（sink+1α）1k+1·

（sink+1β）kk+1

=sinαsinkβ.

于是sink+1α+ksink+1β≥（k+1）sinαsinkβ.

从而sink+1αsinkβ+ksinβ≥（k+1）sinα.

即sink+1αsinkβ≥（k+1）sinα-ksinβ.

所以sink+2αsinkβ≥（k+1）sin2α-ksinαsinβ.③

同理，可得

cosk+2αcoskβ≥（k+1）cos2α-kcosαcosβ.④

③④两式相加，得

sink+2αsinkβ+cosk+2αcoskβ≥（k+1）sin2α-ksinαsinβ+（k+1）cos2α-kcosαcosβ

=k+1-kcos（α-β）

=k+1-k［1-2sin2（α-β）2］

=1+2ksin2（α-β）2.

从而M=1+2ksin2（α-β）2.

因为-π4lt;α-β2lt;π4，

所以-22lt;sinα-β2lt;22.

即0≤sin2α-β2lt;12.

故1≤1+2ksin2α-β2lt;1+k，当且仅当α=β时，等号成立.

所以M的取值范围为［1，1+k）.

评注" 由于sink+2αsinkβ+cosk+2αcoskβ≥1+2ksin2α-β2，当且仅当α=β时，等号成立.显然这正是原问题的命题背景.

4" 结束语

学数学离不开解题，遇到一道经典试题，要从多角度、深层次探寻其解法，通法也好，巧法也罢，不单要比较其优劣，还要清楚其中的方法内涵，知晓其中的来龙去脉，方能实现试题研究价值的最大化.另外，不要只满足于问题的解决，要通过变式、类比进行研究，寻求问题的增长点，从而达到做一题会一类，甚至会一片的目的，积累良好的数学思维和实践经验，最终在解题思路上产生质的变化，使思维得到发展.

参考文献：

［1］

林国红.一道三角求值竞赛题的探究［J］.数学通讯，2020（10）：27-30.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［责任编辑：李" 璟］