2024年全国高考数学Ⅰ卷理科导数题解法探究

摘" 要：文章给出了2024年全国高考数学Ⅰ卷理科导数压轴题中第（1）问和第（3）问的两种解法、第（2）问三种解法，并且揭示了每种解法背后所蕴含的知识内涵.帮助学生从不同角度进行观察和分析，抓住条件和结论之间的联系，开拓解题思路.

关键词：高考数学；一题多解；导数

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0076-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：王翔（2000.12—），男，云南省曲靖人，本科，从事中学数学教学研究;

王青松（1998.7—），女，云南省大理人，本科，中学二级教师，从事中学数学教学研究.

高考导数含参压轴题是一个经典的问题，文章具体阐述应用不同思想方法来解答2024年全国高考数学Ⅰ卷理科导数压轴题，旨在为高中数学一线教师提供教学参考.

1" 试题呈现

题目" 已知函数f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3.

（1）若b=0，且f ′（x）≥0，求a的最小值；

（2）证明：曲线y=f（x）是中心对称图形；

（3）若f（x）gt;-2，当且仅当1lt;xlt;2，求b的取值范围.2" 试题解析

由x（2-x）gt;0得f（x）定义域x∈（0，2）.

2.1" 第（1）问解法探索

解法1" 分离参数，利用重要不等式求最值［1］.

因为b=0，所以f（x）=lnx2-x+ax.

所以f ′（x）=1x+12-x+a≥0在（0，2）恒成立.

分离参数得-a≤1x+12-x在（0，2）恒成立.

由重要不等式易得1x+12-x=2x（2-x）≥2.

则a≥-2.

所以amin=-2.

解法2" 函数最值.

因为f ′（x）≥0，所以f ′（x）min≥0.

则f ′（x）min=f ′（1）=2+a≥0，解得a≥-2.

所以amin=-2.

点评" 首先明确函数定义域，根据已知条件求导，采用分离参数或求函数最值即可.

2.2" 第（2）问解法探索

解法1" 利用表达式的结构特征，先猜后证.

观察发现b（1-x）3关于（1，0）对称，猜想f（x）关于（1，？）对称.

因为f（1）=a，猜想f（x）关于（1，a）对称.

下证：f（x）+f（2-x）=2a.

f（x）+f（2-x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3+ln2-xx+a（2-x）+b（1-x）3=2a.

所以曲线y=f（x）是关于（1，a）对称的中心对称图形.

解法2" 结合教材结论探究（人教A版必修一P87课后习题拓展探索结论：y=f（x）关于点（a，b）对称的充要条件是y=f（x+a）+b为奇函数）.

观察发现f1=lnx2-x=lnx-ln（2-x）关于（1，0）对称，f2=b（x-1）3关于（x，1）对称，

所以f（x）向左平移1个单位才能为奇函数.

因为f（x+1）=lnx+11-x+a（1+x）+bx3

=lnx+11-x+ax+bx3+a，

所以f（x+1）-a=lnx+11-x+ax+bx3.

易证y=lnx+11-x+ax+bx3为奇函数.

所以曲线y=f（x）关于（1，a）对称.

解法3" 利用高等数学结论先算后验.

因为f ′（x）=1x+12-x+a+3b（x-1）2，

所以f″（x）=4（x-1）x2（2-x）2+6b（x-1）.

令f″（x）=0，得x=1.

又f（1）=a，所以曲线f（x）关于（1，a）对称.

点评" 结合函数结构先去推断再去证明，课本习题的结论也为我们提供了很好的解题思路.

2.3" 第（3）问解法探索

分析" 深入理解当且仅当，结合（2）的对称性优化研究范围.

因为1lt;xlt;2f（x）gt;-2，

所以x∈（0，1］，必有f（x）≤-2.

所以f（1）=-2.

所以a=-2.

所以f（x）=lnx2-x-2x+b（x-1）3.

该问题等价于：当x∈（1，2），f（x）gt;-2恒成立，只需f（x）mingt;-2.由（2）知f（x）关于（1，-2）对称，故只需求f（x）在（1，-2）最小值.

解法1" 利用导数直接分类讨论求f（x）的最小值［2］.

f ′（x）=1x+12-x-2+3b（x-1）2

=2（x-1）2x（2-x）+3b（x-1）2

=（x-1）22x（2-x）+3b.

因为2x（2-x）≥2，参照此分类讨论如下：

①若3b≥-2，则b≥-23.

易知f ′（x）≥0，则f（x）在（1，2）单调递增.

则f（x）gt;f（1）=-2.

故b≥-23成立.

②若3blt;-2，则blt;-23.

由2x（2-x）+3b≥0，

得-23b≤x（2-x）.

在（1，2）必存在t，使得x∈（t，2）时2x（2-x）+3b≥0成立（其中-23b=t（2-t）），f（x）在（1，t）单调递减，在（t，2）单调递增，所以f（t）≤f（1）=-2，与f（x）gt;-2在（1，2）恒成立矛盾，故blt;-23舍去.

解法2" 利用端点效应，先证必要性，再证充分性.

研究f（x）+2mingt;0，令h（x）=f（x）+2，则

h′（x）=1x+12-x-2+3b（x-1）2

=2（x-1）2x（2-x）+3b（x-1）2

=（x-1）22x（2-x）+3b.

令g（x）=2x（2-x）+3b，发现h′（1）=0，h″（1）=0，当且仅当h（1）gt;0时，若g（1）≥0，解得b≥-23.

易证当b≥-23时，由2x（2-x）≥2，得h′（x）≥0，则h（x）在（1，2）单调递增.

所以h（x）gt;h（1）=0.

故b≥-23成立.

当blt;-23时，2x（2-x）+3b=0在（1，2）必有解，规定-23b=t（2-t），则h（x）在（1，2）必存在t，使得2x（2-x）+3b≥0在x∈（1，t）恒成立.

则h（x）在（1，t）单调递减，在（t，2）单调递增.

所以h（t）≤f（1）+2=0，与h（x）gt;0在（1，2）恒成立矛盾，故blt;-23舍去.

点评" 导数大题题目条件字字都不能放过，当且仅当作用很大，往往求解都是需要利用已知条件转化成新的问题.该题转化后常规方法借助导数求最值即可，多角度利用端点效应证充要条件也可.

3" 结束语

本题实际为某对数型函数多项式逼近的二阶展开，再向右平移一个单位所得式子，改编自2015年北京卷，（1）（2）两问常规基础，容易得分，紧扣课本，突出必备知识的考查；第（3）问注重解决问题，凸显选拔性，与高等数学知识相联系，体现难题的立意和寓意.函数是高中数学的主线，无论是切线问题还是单调性问题或者极值或者恒成立问题，最后都是以导数为工具，求导分析与讨论，这点是在导数题中不变的事实.第（2）问的考点，我们发现问题其实没有多大变化，因为导数基础题只是对通性通法的简单运用［3］，而压轴题在通项通法之外深入多角度考查.这些都启示我们学导数、练导数要注意好导数的通性通法.

参考文献：

［1］

郭蒙，薛小强.剖析分离参数法在高考导数压轴题中的应用［J］.高中数理化，2024（Z1）：62-65.

［2］ 黄诗媛.解答导数恒成立问题的三种思路［J］.数理天地（高中版），2024（11）：47-48.

［3］ 龙正武.从一道高考真题谈函数导数压轴题的备考［J］.数学通报，2017，56（05）：48-51.

［责任编辑：李" 璟］