全国高中数学联赛试题中“圆锥曲线”考点的命题分析研究

摘" 要：

圆锥曲线作为平面解析几何的重要组成部分，蕴含着丰富的数学学科的核心素养，在中学数学知识体系中占有十分重要的地位，也是高考和数学竞赛中的必考内容.对2014-2023年全国高中数学联赛中关于圆锥曲线知识考点进行归纳和分析，为参加全国数学联赛竞赛的教练和学生提供一些有益的参考.

关键词：圆锥曲线；全国高中数学联赛；国际数学奥林匹克（IMO）；中国数学奥林匹克（CMO）

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0088-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：蒋研（1981.9—），男，博士，讲师，从事中学数学教育教学研究;

赵昕衡（1998.6—）男，本科，中学二级教师，从事高中数学竞赛研究.

基金项目：湖南师范大学教师教育改革研究实践项目“基于UGS模式的数学卓越教师培养”（项目编号：5022400）.

圆锥曲线是数学分析中的重要内容，是数学学科的基础之一，对于培养学生数学思维和解决问题能力具有重要意义，它也是连接解析几何的桥梁.圆锥曲线是几何与代数的结合体现，它能帮助学生理解几何问题背后的代数性质，也为后续的高等数学学习打下基础.

1" 主要竞赛概述

1.1" 全国高中数学联赛

1956年我国开始举办各类中学生数学比赛.北京、上海等各大省市都陆续举办过数学竞赛，到1979年，我国已有29个省、自治区、直辖市都举办了中学数学竞赛.1980年，大连召开了第一届全国数学普及工作会议，会议确定了将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项常规性的工作，每年9月或10月中旬举行“全国高中数学联赛”［1］.

1.2" 中国数学奥林匹克（CMO）

中国数学奥林匹克（China Mathematical Olympiad，简称CMO）是中国举办的一项面向中学生的数学竞赛活动.CMO通常分为初赛和决赛两个阶段，参赛学生需要通过初赛选拔才能晋级到决赛.

1.3" 国际数学奥林匹克（IMO）

国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是世界上最具权威性的青少年数学竞赛之一，该竞赛旨在激励学生对数学的研究和探索，推广数学学科，并促进世界各国之间的数学交流.

国际数学奥林匹克始于1959年，每年举办一次，由不同国家轮流主办.每个参赛国家都派出一支由6名学生和若干领队组成的代表团参加比赛.比赛通常持续两天，每天解答三道复杂且富有创造性的数学问题.

IMO不仅是一项竞赛，更是一个促进全球数学教育和学术交流的平台，为年轻数学爱好者提供了展示才华和结交志同道合者的机会.

1.4" 全国高中竞赛流程

图1" 高中数学联赛流程图

1.5" 竞赛内容与方式

联赛分第一试和第二试.第一试的内容符合《全日制普通高级中学数学教学大纲》.其中包括8道填空题（每小题8分）、3道计算题（第9题16分、第10题20分、第11题20分），卷面满分120分.二试（加试）与中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，增加了一些教学大纲以外的内容，试卷包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面［2］.

2" 全国高中数学联赛试题中“圆锥曲线”考点的命题分析

为了保证研究内容的严谨性、真实性与时效性，本文研究内容为2014-2023年间的全国联赛一试试题.对近10年全国数学联赛一试有关“圆锥曲线”的考点从命题角度、题目类型、所占分值、考试内容等进行了归纳整理.

2.1" 全国高中数学联赛命题统计由表1可知，圆锥曲线部分在全国数学联赛中是必考的考点.从近几年试题结构来看，考题题型结构一般是一个小题（选择题或者填空题）和一个解答题，近几年分值为28分，由此可以看出圆锥曲线在考试中占有极其重要的分量.总体来说，联赛中对于圆锥曲线知识的考查基本都有覆盖到，同时还与不等式、数列、向量等知识进行综合考查.

表1" 2014-2023年全国联赛一试“圆锥曲线”总体命题情况表

2.2" 全国高中数学联赛分值、圆锥曲线考查类型

图2" 2014-2023年全国联赛一试圆锥曲线考查分值图

从图2中可以看到，从2016年以来考查分值大多数都是28分（2021年除外），导致这个总分值变化的一个原因就是从2009年起题型开始改变，没有选择题，并且从近几年考查趋势来看，对圆锥曲线的考查分值在28分左右，题型是一个8分的填空题和一个20分解答题.

图3" 2014-2023年全国联赛一试圆锥曲线类型考查分值表

从图3可知，考查频率最高的是椭圆，最少的是双曲线，和高考考查情况类似.

2.3" 全国高中数学联赛考点分析圆锥曲线考点大致可分为五类，分别是基本性质问题、轨迹问题、存在性问题、定点定值问题、最值与参数范围问题［3］.

图4" 2014-2023年全国联赛一试圆锥曲线考点考查频率表

从图4可以看到，2014年至2023年，全国数学联赛圆锥曲线部分考点出现频率最高的问题是基本性质问题，频率占比37％；其次是最值与参数范围问题，考查频率占比34％.其实我们在解答圆锥曲线问题时，总会用到它的基本性质，所以总体来说，考点最频繁的是最值与参数范围问题.

3" 结论

3.1" 五类考点分析总结

（1）基本性质问题.这一考点是最常考的考点，主要考查考生的基本知识掌握和运用程度.主要内容有：定义、对称性、焦点弦、离心率、准线、渐近线方程等.

（2）轨迹问题.在联赛中考查频率不是很高，但是在解析几何大类考查中常考.解题的常用方法有：定义法、直接法、相关点法、交轨法.

（3）存在性问题.考查频率也不是特别高，但

题目难度会比较大，主要分为：点存在问题、直线存在问题、实数存在问题、曲线存在问题.

（4）定点定值问题.在2014-2023年全国数学联赛中考查频率很低，但是仍旧是一个重要的考点.主要问题分为：定点在某定直线（定曲线）上、直线（曲线）过某定点、定值证明问题及求定值问题.

（5）关于最值与参数范围问题.从统计情况来看，其在解答题中是考查频率最高的考点，同时在选择题、填空题中考查频率也很高，因为在这个问题下，很容易结合不等式或者函数等知识来综合考查，对学生能力考核要求较高.

3.2" 应对策略

本文研究的目的是希望研究结果能给竞赛的教练和学生提供一定的参考价值，并依据以上的分析结果对竞赛教练和学生提出以下几点建议.

首先，联赛题目中圆锥曲线意在考查“四基”“四能”，真正落实直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.所以对于教练来说，需要仔细研读新课程标准，明确课标要求，认真落实教材中圆锥曲线部分的内容分析和教学引导，紧紧围绕课标要求展开教学，在面对圆锥曲线知识点的训练准备时，关注历年来各问题考点的考查频率，

有针对性地去复习.

其次，对于参赛学生来说，应该认真分析历年真题，在解题过程中，面对圆锥曲线多变的问题，要会运用一题多解.这就要求学生在训练时要学会举一反三，熟练运用，对于各种解法都要能够形成体系.

4" 结束语

新高考试题命题规律产生变化，知识理论不断完善拓展，新的教学大纲也将会随之改变，那么全国数学联赛考查内容和侧重点也会相应地发生转变，未来圆锥曲线的考查也将变得综合性更高，思维和能力要求也将变得更高.对于这种情况，对圆锥曲线的研究仍然需要与时俱进，并将其运用到实践当中.

参考文献：

［1］

刘园园.赢家通吃视角下的奥数竞赛及其管制分析［D］.大连：东北财经大学，2010.

［2］ 张静.高中教学联赛“圆锥曲线”问题研究［D］.西安：西北大学，2018.

［3］ 吕玉怀.初中数学教学中学生数学核心素养的培养策略分析［J］.考试周刊，2021（94）：85-87.

［责任编辑：李" 璟］