实变函数课程教学中的思政元素探索

摘"要：本文运用不同的思政方法，通过价值观渗透、插入有趣案例、讲好名人故事、以具体代替抽象、融入哲学思想等，探讨如何在实变函数课程的不同教学内容和教学环节中挖掘和融入思政元素。做到以实变函数知识传授为基础，将课堂思政融入课程教学中，实现实变函数知识传授与思政思想引领的有机统一，实现专业课程与思想政治理论课协同育人，达到事半功倍、润物无声的育人效果。

关键词：实变函数；课堂思政；协同育人；价值引领；案例穿插

中图分类号：G4"""""文献标识码：A""""""doi：10.19311/j.cnki.16723198.2024.17.076

实变函数课程是普通高等院校数学与应用数学专业的本科生重要的专业课之一。现代数学的发展离不开实变函数的创立，其理论已被广泛应用到基础数学和应用数学的多个分支，例如：复分析、泛函分析、微分方程、概率论等。实变函数是学生进一步学习其他分析数学分支和科学研究必不可少的基础知识。它是由法国数学家勒贝格在19世纪末20世纪初所创立的一种积分理论，它克服了黎曼积分的缺点，在点集理论的基础上研究实变量函数的分析数学，是一门抽象性和理论性均很强的学科。它虽是数学分析的深入和推广，是普通微积分学的进一步发展，但在思想方法上却和普通微积分有着明显的不同。实变函数更加抽象化、更偏理论化，这使得多数学生觉得本课程晦涩难懂，学习难度大。为深入贯彻落实习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上的重要讲话精神，实现专业课程与思想政治理论课同向同行、协同育人。本文针对如何在实变函数课程中将思政内容内化于专业知识、外化于课程教学作为重点，在课程内容设计和教学环节中，以社会主义核心价值观为引领，通过运用引入经典案例、讲好名人故事、融入哲学思想等方式，发挥课堂育人的功能，实现实变函数课程与思想政治理论课程同向同行。

1"在课程概述中渗透式插入思政元素

每门课程真正的课程设计总是开始于课程概述，这是教学大纲最开始的部分，起着唤起学生对所学课程的兴趣的重要作用。在此环节，除了给出实变函数研究的主要内容、课程要达到的目标、作业要求和成绩评定等内容外，十分重要的是和学生讲清楚：为什么学习实变函数、学习这门课有什么用处，它和之前所学知识有什么联系，该门课程以后的发展是什么。通过这些介绍给学生建立本门课程的宏观理解，引起学生的学习兴趣，提高对所学专业的认同感，引导树立端正的学习态度和正确的学习目标。另外，给学生解释清楚本门课程的特点也很重要，其理论性强，抽象性高。学过实变函数的学生通常会说：“实变函数很难学”或者“实变函数，要学十遍”，这些话充分体现了学习实变函数的难度，说其为本科数学中最难学的一门专业课也不为过。畏难情绪会给学生学好实变函数带来心理上的严重负担。

然而，“天下事有难易乎？为之，则难者亦易矣；不为，则易者易难矣。”一件事情成功的第一步是要有不畏困难的心态。这里可引入中国共产党党史：在困难中诞生、发展、壮大恢宏。习近平总书记说：“敢于斗争、敢于胜利，是中国共产党不可战胜的强大精神力量”。鼓励学生学习中国共产党不畏困难、勇往直前的奋斗精神。或者讲述红军爬雪山、过草地，不怕牺牲，英勇斗争、越挫越勇，一往无前最终取得胜利的二万五千里长征故事。长征之路是一条荆棘遍布之路，也是一条开创新局之路；是一条筚路蓝缕之路，也是一条通往胜利之路。历史照亮未来，征程未有穷期。通过这些红色革命故事引导学生正视本门课程的困难之处，学习“红军不怕远征难”和中国共产党不畏任何艰难险阻的奋斗精神，发扬不畏艰难、迎难而上的斗争精神，鼓励学生在学习本课程的过程中，不向任何困难低头，勇于克服学习中遇到的困难，努力增强自身的本领，勇攀科学高峰。

2"在章节学习中案例穿插式引入思政元素

实变函数课程中集合论的知识抽象，很多学生理解困难。实变函数课程的重难点在于是否能够熟练运用集合论的语言来描述函数及其性质。如何帮助学生学好集合论部分的相关知识，可以在讲解有关概念和定理时，适时插入一些形象生动的例子，帮助学生理解和掌握所学知识。

例如：在讲解可数集合的有限并或可数并仍然是可数集这一结论时，可引入希尔伯特无限旅馆的故事帮助学生理解这一结论。让学生想象有这样一家名为“无限旅馆”的酒店，它有无穷多间客房，每间恰能住一位客人。一天晚上，无限旅馆已经客满了，但当日又有一位旅客走进了酒店并且要求安排一个房间。夜班经理并没有拒绝他，而是决定给他一个房间。他是怎么做到的呢？很简单，夜班经理让1号客房的客人搬到了2号客房，2号客房的客人搬到3号客房，以此进行下去，每位客人从n号房搬入n+1号客房。由于酒店有无穷多个房间，所以总有第n+1号房间给第n个已入住的客人，这样1号房间就留给了新来的旅客。如果当日新来30名旅客来到这家客满的无限旅馆，上述安排房间的方法同样适用，只需要让每个已经入住的客人从第n号房搬到第n+30号房间，这样前30个房间就能空出来安排当日新来的30名旅客了。这个故事让学生理解了有限集和可数集的并集仍然是可数集。继续向学生讲该故事，引发学生的思考：现在有一辆无限长的巴士，拉了可数无限多位客人来入住已经客满的无限旅店，夜店经理如何安排新客人？他让1号房间的客人搬到2号间房住，让2号间房的客人搬到了4号房间，3号房间的人搬到了6号房间住，以此进行下去，让每位原先入住的客人从第n号房间搬到第2n号房间，这样就有无限多个奇数号房间空了出来，可以安排新来的客人入住了。这表明，两个可数集合的并集仍然是可数集，类似的方法可以说明有限多个可数集的并仍然是可数集。故事继续进行下去：一天晚上，由可数无限多辆并且每辆都载有可数无限多客人的无限长的大巴车开到了已经客满的无限旅馆门口，要求夜班经理安排入住。这时候，夜班经理该怎么解决这个棘手问题？经理遇到的问题难度虽然是越来越大，但人的智慧却是无穷大的。人类认识世界的过程是永无止境的，科学研究也是一个无穷的过程，而人类对未知领域的进取心有多大，智慧就有多大。用这样层层难度递增的小故事诱导和引发学生思考，激励学生燃起向学爱学之心，引导他们勇攀科学高峰，走科学报国之路。

又如，在应用反证法证明“所有集合的全体不能构成一个集合”时，我们应用到了罗素悖论，将所有不属于自身的集合构成一个集合，然后对该集合验证矛盾存在，从而原命题得证。在该命题的证明中，罗素悖论发挥了重要作用。为了帮助学生理解罗素悖论，可以用理发师悖论说明白这件事：在某城市有一位理发师，他宣称“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己理发的人理发，我也只给这些人理发。”让学生思考：这位理发师能不能给他自己理发？如果他不给自己理发，他就属于“不给自己理发的人”，他就要给自己理发，而如果他给自己理发？他又属于“给自己理发的人”，他就不该给自己理发。这个小故事中的思维逻辑与罗素悖论是等价的，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也成立。理发师悖论如何解决呢，可能学生更关心这个问题。而这个问题的解决，刚好给出了“所有集合的全体不能构成一个集合”的结论。这是因为理发师悖论产生矛盾的原因在于假设了这样的一位理发师存在，而具有这种性质的理发师（即，给本城那些不给自己理发的人理发）是不存在的，从而解决了问题。这种解决问题的方法，是反证法，即是借助矛盾的论证法，首先假设前提成立，然后进行逻辑推理和概念分析，进而得到逻辑矛盾，由此证明前提不成立。引导学生运用辩证眼光看问题，熟练将矛盾法应用到日常学习和实践中，找出事物内在的矛盾，通过解决矛盾，推进事物发展。

在实变函数课程中，通过穿插讲解诸如此类的生动合理的精彩案例，将抽象的数学逻辑和数学结论变得形象具体，引发学生的思考，加深学生对集合思想的理解和掌握，从而达到良好的教学效果。

3"讲好名人故事加入有厚度的思政元素

在教学过程中挖掘人文素养，使教学知识内涵更加丰富，知识教育更富情趣，能力培养更趋务实。

例如，在引入勒贝格积分的定义时，可将勒贝格积分的创立者：法国数学家勒贝格的生平及勒贝格积分的建立和发展讲述给学生。勒贝格从小因父亲去世家境贫困，靠母亲一人支撑家庭。但贫不改其志，他从小勤奋爱学，成绩优异，在19岁时考入法国高等师范学院，成为数学家波莱尔的学生。大学毕业后，勒贝格在一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究实变函数理论，并于1902年发表了博士论文，后来创立了以他的名字命名的积分理论。该理论创立后并不被当时的很多数学家接受，甚至很长一段时间内，勒贝格在巴黎找不到工作，只能去偏远地方工作。直到1910年，他才重回巴黎并最终成为法兰西学院的教授。勒贝格积分是经典分析和现代分析的分水岭，极大地促进了分析数学的进展，是现代分析的奠基，也促使后续其他积分建立。这个历史故事表明了新的理论在发展过程中，虽然道路不平坦，但步伐总是往前的。

用名人故事教育学生学习数学家在追求真理过程中的不屈尝试和突破，坚持不懈和敢于斗争的精神。做事遇到困难的时候坚持真理，不放弃，总会迎来柳暗花明又一村的光明，培养学生在困境中坚忍不拔的毅力。又如，在讲康托尔三分集的时候，向学生介绍被时代冷遇却为数学世界留下了无穷乐园的德国数学家康托尔的故事和数学贡献，尤其是其所建立的集合论。通过康托尔这位被誉为数学家中的探险家的故事，激励学生在科学道路上和日常学习中发挥勇于探索、敢为人先的拼搏精神。还有许多在实变函数的发展中作出了不可磨灭贡献的数学家，诸如，苏联数学家鲁津、俄国数学家叶戈罗夫、法国数学家法图、匈牙利数学家里斯等人的故事也可结合授课内容进行讲授，激励学生在学习上迎难而上、奋斗不息。

4"见缝插针融入哲学思政元素

人类的认知发展是从具体到抽象，从特殊到一般。在教学过程中，如果能够以直观具体的例子作为引入，帮助理解抽象的定义，从特殊例子推广到一般结论，教学效果会更显著。在实变函数的教学过程中，见缝插针地融入哲学思想，完善学生认识世界的方法论。

例如，在引入“对等”的概念时，比较两个元素个数均为无限多的集合何时是相等的，这种情况下，像有限多个集合运用数数的方法就行不通了。如何引入，让学生想象这样一个情景：在一间大教室中，如果每个人有一个座位，每个座位仅有一个人坐，我们根本不用一个一个去数，就立刻知道教室中的人数和座位数是相同的。在这个例子中，我们运用了一一对应的思想，把座位和学生分别构成的集合做了对应，从而可快速得出学生数和座位数是一样多结论，这就是比较两个无限集合大小的本质。从而用集合间的一一映射来定义两集合的对等关系。在这个过程中，遵循学生认知发展的规律，引导学生从具体实例出发理解抽象概念，教导学生透过现象看本质，促进学生哲学思维的提高和数学思维的培养。

在讲康托尔三分集的构造和性质的时候，让学生认识到其中蕴含的事物的无限可分性，以及局部和整体的相似性，简单和复杂的相统一性。在讲可测集的定义时，在一维实数空间中将测度与日常生活中的长度、二维空间中的测度与面积、三维及以上空间中的测度与体积做类比，让学生理解长度、面积、体积的有限可加性，要解决测度的无限可加性从而产生了可测集的概念，通过类比引入新概念，让学生从实践认识中提高对抽象概念的理解，提升自己的抽象思维能力。

在学习勒贝格积分的定义时，通过非负的简单函数，再到非负的可测函数，最后到一般的可测函数这个从特殊到一般的过程，逐步建立起勒贝格积分。从特殊到一般这种哲学思维在实变函数中多处均有体现，例如鲁津定理的证明。在介绍勒贝格积分理论时，对比黎曼积分和勒贝格积分建立的角度不同，教导学生遇到问题学会跳出常规思维模式，从不同角度出发辩证看待问题，思考问题和解决问题，终会有新的收获。在比较两个无限集合——整数集和自然数集的大小时，虽然自然数集是整数集的子集，但二者的基数一样，从而告诉学生思考问题要遵从理性和科学，而不是仅凭经验或直观感受得出结论。

实变函数作为数学专业的一门重要的专业课，积极挖掘其中的思政教育元素并将之有机融入课程教学中去，充分发挥该课程的育人功能，是高校课程思政建设中的重要环节，也是每位任课教师义不容辞的责任。

参考文献

［1］程其襄，张奠宙，胡善文，等.实变函数与泛函分析基础[M].高等教育出版社，2019.

[2]刘琦.浅谈《实变函数》课程教学中的思政教育[J].中国教师，2021，（7）.

[3]李宏亮，阮建苗，孙钦秀，等.实变函数课程的教学改革与实践[J].创新教育研究，2020，（8）.