回归教材 一题多解

摘 要：以2024年新高考Ⅰ卷第17题立体几何试题为切入点，探究了该题的不同解题方法并给出了教学启示，促进教师对高中立体几何教学的思考.

关键词：高考数学；立体几何；一题多解；教学启示

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0056-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：周璐娜（2000—），女，安徽省黄山人，硕士，从事中学数学教学研究;张新全（1968—），男，安徽省寿县人，教授，从事数学课程与教学论研究.

基金项目：合肥基础教育研究院2022年度研究项目（项目编号：2022YJY47）；合肥师范学院2024年研究生创新基金项目“新课标下跨学科融合在初中数学教学中的实践研究”（项目编号：2024yjs041）.

高中立体几何的内容主要包括线线、线面、面面的位置关系，特别是平行和垂直关系的判定与证明、空间角与距离的计算，以及几何体的表面积与体积的计算等，在高考中对于学生的数学思维要求较高.教师在教学中应该做到结合教材，教会学生一题多解，这样才能发展学生数学思维的灵活性、深刻性，提高学生的数学核心素养.

1 试题呈现

题目 （2024年新高考数学Ⅰ卷第17题）四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3.

（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；

（2）若AD⊥CD，且二面角A-CP-D的正弦值为427，求AD.

本题以常见的四棱锥为载体，题干简洁，考查了立体几何的重点内容.第（1）问设置了线面平行关系的证明，较为简单;第（2）问以二面角的大小为已知条件，设置了求线段长度问题，这与以往高考直接求二面角的大小正好相反，对学生的应变能力和探究能力要求较高.试题源于课本，是由高一数学必修第二册（人教A版）第158页例8演变而来，主要考查了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等数学素养，需要学生对空间点线面位置关系能熟练掌握.

2 解法探究

2.1 第（1）问的证法

证法1 因为PA⊥底面ABCD，AD底面ABCD，所以PA⊥AD.

又AD⊥PB，PA∩PB=P，PA，PB面PAB，所以AD⊥面PAB.

又AB面PAB，可得AD⊥AB.

因为BC=1，AB= 3，AC=2，

即AB2+BC2=AC2.

所以AB⊥BC.

因为AD，AB，BC底面ABCD，

所以AD∥BC.

又BC面PBC，AD面PBC，

所以AD∥面PBC.

证法2 因为PA⊥底面ABCD，AD底面ABCD，所以PA⊥AD.

又AD⊥PB，PA∩PB=P，PA，PB面PAB，所以AD⊥面PAB.

因为BC=1，AB=3，AC=2，

即AB2+BC2=AC2.

所以AB⊥BC.

又因为BC⊥PA，AB∩PB=B，AB，PA面PAB，所以BC⊥面PAB.

因为AD∥BC，BC面PBC，AD面PBC，所以AD∥面PBC.

证法3 因为PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，

BC=1，AB=3，所以PC=22，PB=7.

因为PB2+BC2=PC2，所以PB⊥BC.

因为AD⊥PB，且PB不垂直底面ABCD，

所以AD∥BC.

又BC面PBC，AD面PBC，

所以AD∥面PBC.

2.2 第（2）问的解法

解法1" 以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC为x轴，y轴建立空间直角坐标系，设DA= m，DC=n，其中m2+n2=4，则A（m，0，0），C（0，n，0），P（m，0，2）.

所以AP=（0，0，2），CP=（m，-n，2），DC=（0，n，0）.

设平面APC的法向量为μ=（x，y，z），

则2z=0，mx-ny+2z=0.

令x=n，则y=m，μ=（n，m，0）.

设平面DPC的法向量为ν=（x，y，z），同理可取ν=（2，0，-m），因为二面角A-PC-D为锐二面角，所以其余弦值为77.

即cos|〈μ，ν〉|=2nm2+n2·4+m2=77.

解得m=3，即AD=3.

本题不同建系的方法还有以下方式：（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系；（2）以AC中点为原点建立空间直角坐标系；（3）以点B为坐标原点建立空间直角坐标系.

解法2 因为PA ⊥平面ABCD，所以DC⊥PA.

图1 解法2示意图

又AD⊥DC，则DC⊥平面PAD.

如图1，作AH⊥PD于点H，则DC⊥AH.

所以AH⊥平面PCD.

所以AH⊥PC.

取PC的中点K，由PA=AC得AK⊥PC.

所以PC⊥平面AHK.

则∠AKH即为二面角A-CP-D的平面角.

所以sin∠AKH=AHAK=AH2=427.

所以AH=2217.

设AD=t，则PA·AD=AH·PD.

所以2t=2217·t2+4，解得t=3.

即AD=3.

解法3 如图2，DG⊥AC，AP∩AC=A，

所以DG⊥面PAC.

又DG⊥PC，GE⊥PC，DG∩GE=G，

图2 解法3示意图

所以PC⊥面DEG.

故DE⊥PC.

所以∠DEG为二面角A-CP-D的平面角.

设AD=x， 因为tan∠DEG=DGGE=DGGC·GCGE=ADCD·PCPA=x4-x2·222=6，

解得x=3，所以AD=3.

解法4 如图2，DG⊥AC，AP∩AC=A，

所以DG⊥面PAC.

又DG⊥PC，GE⊥PC，DG∩GE=G，

所以PC⊥面DEG.

故DE⊥PC.

所以∠DEG为二面角A-CP-D的平面角.

设AD=x， 则有

DG=x4-x22，DE=4+x2·4-x222.

所以sin∠DEG=DGDE=2x4+x2=427，

解得x=3.

所以AD=3.

解法5 因为DG⊥AC，AC∩AP=A，

所以DG⊥面PAC.

故△PCD在平面PAC的投影为△PCG.

设AD=x，则

CD=4-x2，PD=4+x2，CG=4-x22.

所以S△PCD=124-x2·4+x2，S△PGC=4-x22.

所以cos∠DEG=S△PGCS△PCD=4-x24+x2=77，

解得x=3.

所以AD=3.

3 教学启示

3.1 改进学习方式，发展学生思维

思维能力的培养，有助于学生更好地理解和应用数学知识.数学解题不仅仅是机械地套用公式和算法，更需要学生有一定的逻辑思维和问题解决能力.通过培养思维能力，学生能够更深入地理解数学概念和原理，把握数学的本质和内在联系

^[1]，因此，无论在解题教学的哪个阶段，都要引导学生按照波利亚的解题理论进行自主探究.通过数学探究培养数学思维的深度，通过课外学习增加数学思维的宽度，通过合作讨论提升数学思维的灵活性

3.2 回归教材，把握数学本质

本题的第（1）问需要我们证明线面平行，有些同学对于线面平行判定与性质并没有充分理解，在解答过程中以面面垂直直接得到线线垂直，不清楚如何通过垂直得到线线平行.这些问题都是由于学生在学习中只知定理，并没有深入地思考与探究.因此，教师在教学的过程中应当以教材为主，注重让学生通过教材例题去感悟原理，从更深层面去思考问题，这样才能做到真正的“知行合一”.

3.3 注重教学过程，以学生为中心

高中教学以传统的教学模式为主，没有按照新课标以学生为中心、以新教材为思考进行学习，教师在教学中没有给足学生

足够的时间去探究数学问题.立体几何解题具有多种解题技巧，应当在掌握相关原理的基础之上，设置适宜的参数，构建平面化模型，更好地梳理解题思维，实现对不同难度题目的顺利解题^[2].

3.4 落实核心素养，培养空间想象能力

高中立体几何类试题主要考查的重点就是学生的空间想象能力、数学运算能力、数学推理能力，这与课标中要培养学生的核心素养是相契合的.在空间立体几何中，空间想象能力发挥着至关重要的作用，使学生能够在心中构建和理解三维几何图形，帮助他们更好地理解和解决立体几何问题，因此教师在教学时要注重学生空间想象能力的培养.

参考文献：

［1］李鸿昌.点在面内的多视角证明与高观点审视：一道2020年立体几何高考题引发的探究[J].数理化解题研究，2023（22）：101-104.

［2］ 赵荣涛.高中数学立体几何的解题技巧[J].数理化解题研究，2024（03）：24-26.

［责任编辑：李 璟］