对一道对数比较大小问题的思考与探究

摘 要：文章研究了2020年全国Ⅲ卷理科第12题的解法，除了常见的基本不等式和糖水不等式解法外，还得到了一种通过构造函数比较对数大小的方法，并将这种方法推广和运用到更为复杂的对数比较大小问题上.

关键词：糖水不等式；基本不等式；构造函数

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0061-03

比较大小一直是高考的热点和难点问题，如2022年新高考Ⅰ卷第7题、2021年全国乙卷理科数学第12题.这类问题常考常新，综合性较强，涉及不等式、函数、代数变形等多方面的数学知识及数形结合、转化与化归的数学思想方法，具有涉及面广、立意新、角度新、解法灵活多样等特点，能够从多方面考查同学们分析问题与解决问题的能力，充分培养和发展同学们的逻辑推理、数据处理、直观想象、数学抽象等核心素养.

1 试题展示

题目 已知55lt;84，134lt;85，设a=log53，b=log85，c=log138，则（" ）.

A.alt;blt;c"" B.blt;alt;c

C.blt;clt;aD.clt;alt;b

本题是2020年全国Ⅲ卷理科第12题，主要考查对数比较大小问题，其常见求解思路是借助不等式相关知识（基本不等式，糖水不等式）、中间值或者构造函数利用单调性求解，下面我们尝试从不同的角度求解该问题.

2 解法研究

解法1 由55lt;84，得lg55lt;lg84.

即5lg5lt;4lg8.

所以log85=lg5lg8lt;45.

所以blt;45.

同理由134lt;85，得lg134lt;lg85.

即4lg13lt;5lg8.

所以log138=lg8lg13gt;45.

所以cgt;45.

所以blt;c.

因为a-b=log53-log85=lg3lg5-lg5lg8=lg3lg8-（lg5）2lg5lg8，

由基本不等式，得

lg3lg8lt;（lg3+lg82）2=lg224lt;lg25，

所以alt;b.

故alt;blt;c.

故选A.

其实也可以不用题目给的条件.

解法2 糖水不等式：b+ma+mgt;ba（agt;bgt;0，mgt;0）.

a=log53=lg3lg5lt;lg3+lg（8/5）lg5+lg（8/5）=lg（24/5）lg8lt;

lg5lg8=log85=b，

a=log53=lg3lg5lt;lg3+lg（13/5）lg5+lg（13/5）=lg（39/5）lg13lt;lg8lg13=log138=c，

故选A.

点评 原题给出条件55lt;84，134lt;85，在我们用了糖水不等式后，根据选项的设计，该条件就可以去掉，当然如果要比较b，c的大小，仅用糖水不等式是不够的：b=log85=lg5lg8lt;lg5+lg（13/8）lg8+lg（13/8）=lg（65/8）lg13gt;lg8lg13=log138=c.

如果不借助条件55lt;84，134lt;85和选项，能否得到答案呢？由题目的分析知，关键是比较b=log85，c=log138的大小，由于基本不等式和糖水不等式均失效，因此需要另辟蹊径，

文献[1]从二分法的角度给出了试题的中间值

4/5的背景与来源，解法稍显繁琐，尤其是当需要比较的两个对数非常接近时，其解法不一定可行（或者非常繁琐）［1］.

那么能否构造函数，利用单调性求解呢？

由于b=ln5ln8，c=ln8ln13，为了将这两个值看作某个函数的函数值，我们将分母的数字8和13看作自变量x，然后需要将分子中的数字5和8看作x的函数，即需要构造过点（8，5）和（13，8）的函数，为方便起见，该函数用过这两点的一次函数即y=15（3x+1），于是构造函数

f（x）=ln（3x+1）-ln5lnx（x≥1），

则b=ln5ln8=f（8），c=ln8ln13=f（13）.

则f ′（x）=3xlnx-（3x+1）［ln（3x+1）-ln5］x（3x+1）ln2x.

令g（x）=3xlnx-（3x+1）［ln（3x+1）-ln5］，

则g′（x）=3ln5x3x+1gt;0.

所以g（x）在［1，+∞）单调递增.

从而g（x）≥g（1）=4ln54gt;0.

于是f ′（x）gt;0.

即f（x）在［1，+∞）单调递增.

故b=ln5ln8=f（8）lt;c=ln8ln13=f（13）.

3 方法应用

例题 比较a=log23，b=log722的大小.

经计算发现，基本不等式和糖水不等式都不能解决上述问题，因此继续采用上述构造函数方法求解.为此先构造过点（2，3）和（7，22）的直线y=15（19x-23），再构造函数

f（x）=ln（19x-23）-ln5lnx，

则a=log23=f（2），b=log722=f（7）.

我们先直接借助信息技术作出该函数的图象，如图1.

图1 函数f（x）=ln（19x-23）-ln5lnx的图象

容易发现，2和7处于该函数不同的单调区间内，因此无法通过这种方式来比较大小.

为此联想到a=log23=log827，这样是不是可以将它们转化到同一单调区间内呢？

为此先构造过点（8，27）和（7，22）的直线y=5x-13，再构造函数

f（x）=ln（5x-13）lnx，

则a=log23=f（8），b=log722=f（7）.

我们先直接借助信息技术作出该函数及其导函数的图象（为了看得更清楚，我们将导函数的纵坐标放大100倍），如图2.

图1 函数f（x）=ln（5x-13）lnx与其导函数的图象

很遗憾的是，导函数的零点近似值为7.0181（虽然很接近7），但是7和8仍然处于不同的单调区间！

同样借助信息技术算出a=log23≈1.584 96，

b=log722≈1.588 48，b-a≈0.003 52，两者非常接近，要比较其大小，比较困难！

看来通过一次函数拟合达不到想要的效果，我们不妨换一个二次函数试试：

构造过点（8，27）和（7，22）的二次函数y=13（x2+17），再构造函数

f（x）=ln（x2+17）-ln3lnx，

则a=log23=f（8），b=log722=f（7）.

我们先直接借助信息技术作出该函数及其导函数的图象（为了看得更清楚，我们将导函数的纵坐标放大100倍），如图3.

图3 函数f（x）=ln（x2+17）lnx与其导函数的图象

可以看到，导函数的零点近似值为8.057 2，这说明7和8均处于f（x）的单调递减区间内，因此有f（7）gt;f（8），即bgt;a.

下面证明f（x）在［3，8］内单调递减.

f ′（x）=2x2lnx-（x2+17）［ln（x2+17）-ln3］x（x2+17）ln2x，

令g（x）=2x2lnx-（x2+17）［ln（x2+17）-ln3］，

则当x∈［3，8］时，g′（x）=2xln3x2x2+17gt;0，函数g（x）在［3，8］内单调递增.

又g（8）=3（128ln2-81ln3）lt;3（128×0.694-81×1.098）=-0.318lt;0，故当x∈［3，8］时，g（x）≤g（8）lt;0，即f ′（x）lt;0，因此f（x）在［3，8］内单调递减.

点评 上述证明过程虽然是严谨的，但稍有遗憾的是利用了估计值ln2lt;0.694，ln3gt;1.098.

其实也可以不用借助这个估计值：2128=（28×28）8=65 5368=4 294 967 2964lt;（4.3×109）4=341.8 801×1036，

381=（273）9=（19 6833）3=7 625 594 484 9873gt;（7.6×1012）3=438.976×1036.

至此，我们比较圆满地解决了上述比较大小的问题.

4 结束语

构造函数法是比较大小常用的方法，此类方法在高考中也是常考常新，比如2021年全国乙卷第12题需要引进变量构造不同的函数比较大小，而本文构造函数的方式和方法也很独特，值得我们研究和学习.总之，我们要从不同的角度去思考和解决问题，这样有利于发展学生的思维.

参考文献：

［1］ 代红军，何波.2020年全国III卷理科第12题新解及命题思路探究[J].数理化解题研究，2023（31）：41-43.

［责任编辑：李 璟］