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变式递进设问 探究问题本质

2017-03-29王磊刘娟

数学学习与研究 2017年5期
关键词:教学设计

王磊 刘娟

【摘要】 本文针对一个椭圆定值、定点问题的解题与教学,采用层层递进的方式进行探究升华,在解决原问题的同时,又在原问题的基础上给出一系列连续性的问题情境,引导学生主动思考,达到对问题的深刻理解,并感受解决一类问题的基本思路.

【关键词】 变式递进设问;探究问题;教学设计

【基金项目】 本文由安徽省大学生创客实验室建设计划项目“数据 分析与仿真创客实验室”(2015ckjh080)和安徽省大学生创新创业计划(201611059322,201611059338)资助.

圆锥曲线的定值、定点问题始终是高中数学考查的重点,更是教学的难点.该问题对学生的整体分析计算能力要求较高.在师范生教学设计课上,笔者设计一道二轮复习椭圆的定值、定点问题时,采用了以一道题为起点,层层递进设问,引导学生各个击破,最后,将类似问题拓展到抛物线和双曲线中的教学策略.下文将呈现这一过程与各位共享,欢迎批评指正.

一、题目原型

引例 已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a>0,b>0)的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到F点距离的最小值为 2 -1.

(1)求椭圆方程;

(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A,B,点M - 5 4 ,0 .

证明:MA ·MB 为定值.

分析与思考 (1)该问考查的是基础知识和基本概念;

(2)该问是一个有关椭圆定值、定点、动直线的综合问题.F是定点,动直线l过F,故自然想到设l的“点斜式方程”,又F位于x轴上,所以,可以引导学生将l的“点斜式方程”设为以y为自变量、x为因变量的形式,以减少参数的个数.这样就有一种特殊的情况需要单独讨论,即l关于y轴的斜率为无穷大的情况,也就是l与x轴重合的情况.这种特殊情况下,l与椭圆的交点A,B即为椭圆的左、右端点,通过直接计算即可得到此时的MA ·MB 的值 - 7 16 .又题目要求证:当l动时,MA ·MB 为定值,这样就可以引导学生利用前面所设l的方程与椭圆方程相结合,利用韦达定理并结合定点M的坐标朝着- 7 16 的方向证明即可.

为方便下文叙述,现将该题的解题过程简述如下:

(1)椭圆方程为 x2 2 +y2=1,解题过程略;

(2)F(-1,0),当动直线l为x轴时,MA ·MB = - 2 + 5 4 ,0 · 2 + 5 4 ,0 = 25 16 -2=- 7 16 ;

当动直线l不与x轴重合时,设直线l的方程为x=ky-1,

联立椭圆方程可得(k2+2)y2-2ky-1=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

y1+y2= 2k k2+2 ,yy=- 1 k2+2 ,

MA ·MB =

(k2+1)y1y2+ 1 4 k(y1+y2)+ 1 16

=- k2+1 k2+2 + k2 2(k2+2) + 1 16 =- 7 16 .

综上所述,MA ·MB 为定值- 7 16 .

二、层层递进设问、追逐问题根源

在上面的引例讲解完毕后,可再次引导学生回到题目中,我们可以看到,在题目的第二问中有一个特殊点M,其位于x轴上,该点拥有特殊功能,即使得MA ·MB 为定值.自然可以引导学生考虑,在x轴上是否还存在其他的具有这种特殊功能的点N.可设问如下:

变式1 在x轴上,除了M - 5 4 ,0 外,有沒有其他定点N,也使得NA ·NB =- 7 16 ?

分析与思考 解决这个问题的过程并不难,只需要将证明过程中的定点M - 5 4 ,0 换成N(x0,0)即可.但问题的本质已发生改变,由证明定值问题转变为探究存在性问题,通过类似的推导过程(l与x轴重合的情况略),可以得到如下的表达式

NA ·NB =- (2x0+3)k2+1 k2+2 +(1+x0)2, (1)

其中k表示动直线l关于y轴的斜率,是一个动值,其取值范围为(-∞,∞).故由(1)可知,要使NA ·NB 为定值,必须2x0+3= 1 2 ,即x0=- 5 4 .

故在x轴上除M - 5 4 ,0 外,再也没有任何一点满足条件.

在变式1中,尽管获得了除M - 5 4 ,0 以外在x轴再也没有任何一点满足条件.但,显然并没有穷尽平面中的所有点.故可继续设问如下:

变式2 在坐标平面内,除了M - 5 4 ,0 点外,有没有其他定点N,也使得NA ·NB 为定值?

分析与思考 类似地,引导学生将变式1分析与思考过程中的N(x0,0)替换为N(x0,y0),进而分析计算可得如下的表达式

NA ·NB =- (2x0+3)k2+2ky0+1 k2+2 +(1+x0)2+y20. (2)

因k为动值,故要使NA ·NB 为定值,必须2x0+3= 1 2 且y0=0,即x0=- 5 4 且y0=0.

故在坐标平面内除M - 5 4 ,0 外,再也没有任何一点满足条件.

通过变式1和变式2的探究我们发现,在原始的引例的第二问中,M - 5 4 ,0 是使得MA ·MB 为定值的唯一点,这蕴含着一种充分必要关系:MA ·MB 为定值当且仅当M的坐标为 - 5 4 ,0 .从而达到对这个题目的深刻理解,加深记忆.进一步可将这个问题进行一般化,提出如下问题:

变式3 设椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)(c>0),过F点的直线l交椭圆C于A、B两点,问是否存在定点N(x0,y0),使得NA ·NB 为定值?若不存在,请说明理由.

分析与思考 这个问题比原问题少了数字常数、多了字母参数,可引导学生共同分析如下:当直线与x轴重合时的情况,这里省略.当动直线l不与x轴重合时,可得类似于(1)和(2)的表达式

NA ·NB =- [2b2c(c-x0)+b4]k2+2b2cky0+b4 b2k2+a2 +(x0-c2)2+y20. (3)

其中k表示动直线l关于y轴的斜率.要使NA ·NB 为定值,必须 2b2c(c-x0)+b4 b2 = b4 a2 且y0=0,得x0=3c-ce2.故,得到N存在且唯一,其坐标为(3c-ce2,0),确在x轴上.

三、问题在抛物线和双曲线中的拓展

因圆锥曲线包含椭圆、抛物线、双曲线这三类,它们形式不同,但都有着一些内在的共同性质.故在探究完上一节的变式3后,可以继续将这一问题拓展到抛物线中.设问如下:

变式4 对抛物线也有类似的性质吗?

设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F p 2 ,0 作直线l:x=ky+ p 2 ,交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,在坐标平面内是否存在定点N(x0,y0),使得NA ·NB 为定值?若不存在,请说明理由;若存在,求出定点坐标.

分析与思考 同椭圆的分析思路和方法,可得如下表达式

MA ·MB =-2px0n2-2py0n-p2+ p 2 -x0 2+y20,

显然,当且仅当x0=y0=0,即M(0,0)时,使得MA ·MB 为定值- 3 4 p2.

四、总 结

通过上面的变式探究,我们得出结论:过椭圆的焦点作直线交椭圆于A,B两点,在平面内有且只有一个定点M,使得MA ·MB 为定值;过抛物线的焦点作直线交抛物线于A,B两点,在平面内有且只有该抛物线的顶点M,使得MA ·MB 为定值;双曲线的情况,我们可以同样变式探究,得出与椭圆、抛物线类似的结论.

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