空间几何体外接球问题的破解策略

摘 要：空间几何体的外接球问题是立体几何小题常考的题型.文章从定义法、割补法和找球心法等给出空间几何体的外接球问题的解题策略.

关键词：立体几何；空间几何体；外接球；解题策略

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0045-03

球的内接几何体（即几何体的外接球）问题是历年高考的热点内容，经常以客观题出现.一般围绕球内接其他几何体命题，考查球的体积与表面积，其解题关键是确定球心.

1 定义法

对于外接球模型，其关键特征为外“接”.因此，各“接”点到球心距离相等且等于半径，解题时无论构造图形还是计算都要利用好这个条件.

例1 正四棱锥P-ABCD的底面边长为42，PA=45，则平面PCD截四棱锥P-ABCD外接球所得截面的面积为.

解析 设正方形ABCD边长为a=42，底面中心为E，CD中点为F，连接PE，EF，PF，CE，如图1所示.

由题意得PE=8，且正四棱锥的外接球球心O，设外接球半径为R，则OP=OA=OB=OC=OD=R.

在Rt△OEC中，OC2=OE2+EC2，且EC=4，

所以R2=16+（8-R）2，解得R=5.

即OP=5.

在Rt△PEF中，PF=PE2+EF2

=62，

过点O作OQ⊥PF，则OQ即为点O到平面PCD的距离，且点Q为平面PCD截其外接球所得截面圆的圆心，所以△PEF∽△PQO.

则PQPE=OPPF=562.

所以PQ=1023.

所以截面的面积S=πPQ2=200π9.

点评 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助底面（正方形）的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点距离也是半径，可列关系式求出球的半径.

2 割补法

对于某些特殊几何体的外接球问题，如果球心不容易确定，可考虑将其补全为正方体或长方体，这样球心就与正方体或长方体中心重合了（这是本质所在）.如正四面体、正八面体、对棱相等的四面体、三条侧棱两两垂直的四面体等，都可补形成为长方体[1].

例2 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面△ABC，△ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=1，SA=2，则三棱锥S-ABC的外接球的体积为.

解析 由题意可将三棱锥S-ABC补全为一个长方体，如图2所示，则长方体的体对角线SC=SA2+AB2+BC2=6.

即三棱锥外接球的直径为2R=SC=6.

所以R=62.

因此三棱锥外接球的体积为

V=43πR3=6π.

点评 根据题意，将三棱锥补全为一个长方体，则该长方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径，再由球的体积公式即可得到结果.将待求几何体看成正方体（或长方体）的一部分，然后通过正方体（或长方体）来求解，这是一个常用方法——割补法，体现了数学的转化与整体思想.

3 找球心法

在这类题中，组合体的中心常常因组合体的某些性质（如对称性）而位于一些特殊位置（如圆心、中心重合），因而很多时候确定中心位置对解题具有非常重要的作用.

方法1 常规方法.

①第一步：确定中心位置.

当为外接球时，组合体的中心就是球心.

②第二步：构建几何图形.

基于中心位置和球心（不与中心重合时），并结合外接点，构建可方便用来辅助计算的几何图形——最终目标多为直角三角形.这是求解这类问题的要领与技巧.

方法2 球的“垂径定理”.

类似于圆的垂径定理，球中也有“垂径定理”，其内容如下：

球心与任一截面圆心的连线垂直于截面；反之，任一截面通过圆心的垂线穿过球心.

球的“垂径定理”可以说是确定球心的一种通用方法.先找几何体的一个内接面的外接圆的圆心，通过圆心且垂直于该平面的直线一定穿过球心.同理，可找到一条垂直于另一内接面的外接圆的圆心的直线，两直线交点即为球心.

如图3所示，已知四棱锥A-BCDE的底面BCDE是矩形，侧面ABC是等边三角形，则确定四棱锥A-BCDE的外接球的球心步骤为：

底面BCDE外接圆的圆心为对角线的交点O1，过点O1作垂线，球心在其垂线上；平面ABC外接圆的圆心为其外心，由于是正三角形，也是重心O2，过圆心的垂线穿过球心，故球心在两条垂线的交点上.

例3 如图4所示，已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为等腰直角三角形，斜边AC=22，侧面SAB为正三角形，D为AB的中点，SD⊥底面ABC，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为.

解析 如图5所示，取AC中点E，连接DE.

在等腰Rt△ABC中，AC=22，则AB=BC=2.

因为侧面SAB为正三角形，所以SA=AB=2，SD=3.

因为底面ABC为等腰直角三角形，E是AC中点，故E为△ABC的外心.

所以OE⊥平面ABC.

又SD⊥底面ABC，所以OE∥SD.

设三棱锥S-ABC外接球的球心为O，连接OA，OB，OS，OE，则OA=OB=OS.

所以三棱锥O-SAB为正三棱锥，O在平面SAB上的射影F是△SAB的重心，则点F在SD上，DF=13SD=33，且OF⊥平面SAB.

因为底面ABC为等腰直角三角形，且AC为斜边，所以AB⊥BC.

因为D，E分别为AB，AC中点，所以DE∥BC.

所以DE⊥AB.

因为SD⊥底面ABC，DE底面ABC，

所以DE⊥SD.

又因为AB∩SD=D，AB，SD平面SAB，

所以DE⊥平面SAB.

所以DE∥OF.

所以四边形OEDF为矩形，OE=DF=33.

所以外接球半径

r=|OA|=|AE|2+|OE|2=

（2）2+（33）2=73.

所以外接球表面积S=4πr2=28π3.

点评 设三棱锥S-ABC外接球的球心为O，确定球心的位置，即球心落在过底面外心的垂线上，再利用图形的几何性质求得外接球半径，进而求得表面积.

例4[2] 在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，若P，A，B，C四点都在表面积为16π的球的球面上，则三棱锥P-ABC的体积为.

解析 如图6所示，设O1为正△ABC的中心，M为PA的中点，过点O1作平面ABC的垂线l，由于PA⊥平面ABC，故l∥PA.

在l，PA确定的平面内作MO⊥l，垂足为点O，则四边形OO1AM为矩形.

连接O1A，O1B，O1C，则O1A=O1B=O1C.

故OP=OA=OB=OC.

则O为三棱锥P-ABC外接球的球心.

因为P，A，B，C四点都在表面积为16π的球的球面上，

设外接球半径为R，故4πR2=16π，解得R=2.

△ABC是边长为2的等边三角形，

故O1A=23×32×2=233.

故PA=2OO1=R2-AO21=463.

所以三棱锥P-ABC的体积

V=13×（12×22×32）×463=423.

点评 由题意确定三棱锥外接球球心位置，根据外接球表面积求得外接球半径，即可求得PA的长，再利用三棱锥体积公式即可求得答案.

4 结束语

解决空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，建议一线教师在教学中要给学生讲清楚确定球心的原理与方法.同时，也要多对外接球模型的试题进行总结，比如长方体模型、三棱锥模型等，在总结中提升教学质量，提高学生的解题能力.

参考文献：

［1］ 黄伟亮.巧用六大模型 轻松解决四面体外接球问题[J].数理化解题研究，2023（01）：12-16.

[2] 李鸿昌.点在面内的多视角证明与高观点审视：一道2020年立体几何高考题引发的探究[J].数理化解题研究，2023（22）：101-104.

［责任编辑：李 璟］