关于概率与统计问题的教学探究

摘 要：概率与统计是研究不确定现象的学问，概率论是统计学的理论基础.高考概率统计问题与社会生活紧密结合，指向数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析等核心素养，集中体现出数学的应用价值与育人价值的特点.概率与统计教学中，应注重概念教学，构建知识网络体系，同时注重数学思想方法教学，培养核心数学思维能力.

关键词：统计思想；条件概率；探究式教学；数学抽象

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0022-04

概率与统计主要研究不确定现象，它是以确定性数学为工具来研究不确定现象的数学，概率论是统计学的理论基础.概率统计是高中数学新课标重点内容，近年来高考对概率统计的考查力度逐年加大，已成为高考的热点.高考概率统计的选择题和填空题通常考查基础知识、基本概念，解答题主要考查概率与统计的综合性问题，或概率统计与函数、概率统计与数列等其他数学知识板块的综合性问题，与社会生活紧密结合，体现数学的应用价值与育人价值[1].

1 方法导入

1.1 概率的基本性质

性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0.

性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）=1，P（φ）=1.

性质3 如果事件A与事件B互斥，那么

P（A∪B）=P（A）+P（B）.

性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1-P（A），P（A）=1-P（B）.

性质5 如果

AB，那么P（A）≤P（B）.

性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，那么有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）.

1.2 频率与概率的关系

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们常用频率fn（A）估计概率P（A）.

2 问题研究

2.1 古典概型的应用

例1 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为.

解析 设“甲、乙都入选”为事件A，从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作包含的基本事件有C35个，事件A包含的基本事件有C13个，所以P（A）=

C13C35=310.

2.2 概率的综合应用

例2 某校命制了一套调查问卷（试卷满分为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取50名学生的成绩，按照［50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成了如图1所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）：

图1 学生的成绩频率分布直方图

（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）;

（2）用样本估计总体，若该校共有2 000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；

（3）若利用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，试求成绩在［80，90）内的学生至少有1人被抽到的概率.

解析 （1）由频率分布直方图可得，第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2，所以x=0.02，故估计所抽取的50名学生成绩的平均数为：

（55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74（分）.

由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7，

故中位数在［70，80）内，设中位数为t分，

则（t-70）×0.03=0.1，解得t=2203.

故中位数为2203分.

（2）由（1）可知，50名学生的成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，

用样本估计总体，估计该校这次测试成绩不低于70分的人数为2 000×0.6=1 200.

（3）由（1）知，后三组的人数分别为15，10，5，

由分层随机抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，将这6名学生依次编号为a，b，c，d，e，f.记“从这6人中随机抽取2人，成绩在[80，90）内的学生至少有1人被抽到”为事件 A .从6人中随机抽取2人的样本空间

Ω=｛（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），

（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（ d，f），（e，f）} ，共15个样本点，其中

A =｛（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），（d，f），（e，f）} ，共9个样本点.

所以P（A）=915=35.

2.3 用频率估计概率

例3 甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定：胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分.已知甲、乙两人共进行了三局比赛.

（1）若甲、乙两人获胜的概率均为0.5，用（9，0）表示甲胜三局时甲、乙两人的得分情况，写出甲、乙两人所有的得分情况，并求甲、乙两人得分之和为9分的概率；

（2）如果甲、乙两人进行3局2胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数4或5时，表示一局比赛乙获胜.由于要比赛三局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数：

123 344 423 114 423 453 354

332 125 342 534 443 541 512

152 432 334 151 314 525

①用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；

②计算甲获胜的概率，并根据两次计算的结果说明用频率估计概率的可行性.

解析 （1）记“甲、乙两人得分之和为9分”为事件A.

甲、乙两人得分情况的样本空间

Ω=｛（9，0），（7，1），（6，3），（5，2），（4，4），（3，6），（3，3），（2，5），（1，7），

（0，9）}，共10个样本点，其中A={（9，0），（6，3），（3，6），（0，9）}，共4个样本点.

故甲、乙两人得分之和为9分的概率为P（A）=410=25.

（2）设事件B={甲获胜}.

①计算机产生的20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件 B 发生了13次，对应的数组为：123，423，114，423，332，125，342，512，152，432，334，151，314，

用频率估计事件B的概率近似值为

P（B）=1320=0.65.

②设事件Ci=（第i局甲获胜，i=1，2，3}，且P（Ci）=0.6.由题可知甲获胜为甲前2局获胜或甲第3局获胜前2局有1局获胜，所以

P（B）=P（C1C2+C1C2C3+C1C2C3）

=P（C1）P（C2）+P（C1）P（C2）P（C3）+P（C1）P（C2）P（C3）

=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=

0.648.

两种方法计算的甲获胜的概率接近，说明利用频率估计概率是可行的.

2.4 相互独立事件概率的求解

例4 甲、乙、丙三人打靶命中率分别为0.9，0.8和0.85，三人同时打一靶，但是否命中彼此互不影响，若每人一发，求：

（1）甲、乙同时命中的概率；

（2）三人都没有命中的概率；

（3）恰有一人命中的概率.

解析 设甲命中为事件A，乙命中为事件B，丙命中为事件C.

由题意知事件A，B，C相互独立，且P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85.

（1）甲、乙同时命中的概率为

P（AB）=P（A）P（B）=0.9×0.8=0.72.

（2）三人都没有命中的概率为

P（A

BC）=P（A）P（B）P（C）=（1-0.9）×

（1-0.8）×（1-0.85）=0.003.

（3）恰有一人命中的概率为：

P（AB C+ABC+ABC）

=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）

=0.9×（1-0.8）×（1-0.85）+（1-0.9）×0.8×（1-0.85）+（1-0.9）×（1-0.8）×0.85=0.056.

2.5 条件概率的应用

例5 （2022年新高考Ⅰ卷第20题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到数据见表1：

（1）能否有99％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件

“选到的人患有该疾病”，

P（B|A）P（B|A）

与

P（B|A）P（B|A）

的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.

（ⅰ）证明：R=P（A|B）P（A|B）·

P（A|B）P（A|B）；

（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|B）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值[2].

附：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），K2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值见表2：表2 K2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解析 （1）由题中数据可知K2=200（40×90-10×60）2100×100×50×150=24gt;6.635，所以有99％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

（2）（ⅰ）R=P（B|A）P（B|A）

·

P（B|A）P（B|A）

=P（AB）P（A）·P（A）P（AB）·

P（A B）P（A）·P（A）P（AB）

=P（AB）·P（A B）P（AB）·P（AB），

=

P（AB）P（B）·P（B）P（AB）·P（A B）P（B）·P（B）P（AB）

=P（AB）·P（AB）P（AB）·P（AB）

=P（A|B）P（A|B）·

P（A|B）P（A|B）.

（ⅱ）由题表中数据可知，P（A|B）=40100=25，

P（A|B）=10100=110，

P（A|B）=60100=35，

P（A|B）=90100=910，

所以R=P（A|B）P（A|B）·

P（A|B）P（A|B）=6.

评注 本题主要考查逻辑推理、数据分析等数学核心素养，体现了数学新高考加强对数学应用性和实践性考查的特点，要求学生深刻领会对独立性检验和条件概率的思想方法，具备数学建模能力.条件概率三种常见方法：

①定义法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）=P（AB）P（A），求P（B|A）.

②样本点个数法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n（A），再求事件.

③AB包含的样本点个数n（AB），得P（B|A）=n（AB）n（A）.

④缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型概率公式求解.

3 结束语

概率统计的教学，需要改革传统教学方式，创新探究式教学模式.一方面，注重概念教学，构建知识网络体系.概念处于学科中心位置，反映学科本质，凝聚着本学科的核心教育价值[3].概率论是研究随机现象规律的科学，用来度量随机事件发生的可能性大小，是统计学的理论基础.在概率统计教学中，以数学核心素养为导向，以核心概念为中心构建知识网络体系.另一方面，注重数学思想方法教学，培养核心数学思维能力.高考概率统计问题设计指向数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析等关键能力，教学中注重典型问题的探究，引导学生深入领会概率统计思想方法，对现实进行数学抽象，理解概率统计基本模型的本质，如条件概率、用样本估计总体、回归分析、分类变量的独立性检验等概率统计模型，培养学生灵活运用概率统计思想表述、思考和解决现实世界中的问题的能力.

参考文献：

［1］ 张健.突出立德树人导向 落实“五育并举”：目标谈高考数学命题的新思路[J].中学数学教学参考（上旬），2021（25）：65-70.

[2] 张琥.2022年高考“概率与统计”试题分析与复习建议[J].高中数理化，2023（01）：2-8.

[3] 卢荣亮，龙艳文.融合其它内容的概率统计命题思考[J].中学数学研究（华南师范大学版），2023（19）：15-17.

［责任编辑：李 璟］